《函数方程》竞赛讲座.doc

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1、函数方程嘉兴一中沈新权一．基本知识及方法1.函数方程的定义:含有未知函数的等式叫做函数方程．如,等．2.函数方程的解:能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解．如偶函数、奇函数、周期为的函数分别是上述各方程的解．3．解函数方程：求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程．4．函数方程问题的基本类型：（1）研究适合函数方程的函数的某些性质；（2）在附加条件下求适合函数方程的函数的特殊函数值；（3）求满足函数方程的函数解析式．对于一般的函数方程的问题尚无统一的方法来处理，只能具体问题具体分析．处理这类问题应该先把握其中所给

2、函数方程的本质特征，采用灵活多变的手法来处理．需要指出的是，函数方程的解可以是一个函数，也可以是一类函数，也可能无解，或没有具备所要求的条件的解．下面介绍一些处理函数方程问题的常用方法和技巧．二．例题及方法介绍（一）解函数方程的方法1．代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数．由于代换后的函数未必与原函数等价，所以，应当将所得解代入原函数方程检验．例1．求函数方程…①在上的解．解：将函数方程中的用代换，得…②联立①②消去

3、得到．例2．试确定函数，对所有实数，满足条件．解：将原方程中的自变量换成，则有，与原方程联立，消去得到．例3．设是定义在上的实函数，如果（1），对任何的；（2），对任何的．证明：是常数函数．证明：显然对所有的，，，由（2）得到，对任意的，令得到：，由的任意性知道（2）可以写成，即，或者，即，对任何的．，对任何的．因此，是常数函数．2.赋值法 对于某些函数方程，特别是自变量的取值为整数的函数方程，有时需要将方程中的自变量代换成具体的数值，才能解决问题．4例4．设函数的定义域是，且满足，求．解：令，得到，再将用替换，得到．例5．

4、设函数的定义域是，且满足，求．解：令，则有，在这个式子中令然后相加得到，．例6．是否存在具有下列三个性质的函数：（1）存在正数M，使得对任意都有；（2）；（3）如果，则．解：假设存在满足题设三个条件的函数，由性质（1）存在实数，使得大于任何，且是的最小整数倍数，由性质（2）和（3）得到，因此．现在由的定义知道，存在某个，使得，得到矛盾．例7．设函数的定义域是且其值域也是的严格递增的函数，，当互素时，证明：对一切正整数．证明：先说明，再用反证法，设使的最小正整数为，则必有，然后分两种情况讨论得到矛盾：（1）是奇数时；（2）是偶

5、数时．3．待定系数法  当已知函数方程的解为多项式函数时，可以考虑用多项式许多的条件（比较系数和次数）和多项式根的性质来寻求适合方程的多项式函数．例8．已知是一次函数，且，求．解：设f(x)=ax＋b(a≠0)，记，则f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)．f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)．依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋由题设知：a10=1024且=1023∴a=2，b=1或a=－2，b=－

6、3；∴f(x)=2x＋1或f(x)=－2x－3．例9．设次多项式函数（），求．解：由题设有（）．因而次多项式①有个根．于是②，其中为待定系数．在①②4中，令，得到，所以知道多项式函数为，．4．递推法例10．已知f(1)=且当n＞1时有．求f(n)(n∈N+)解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－1)∴=2(n＋1)；把n依次用2，3，…，n代换，得－=2×3；－=2×4；……=2(n＋1)上述(n－1)个等式相加，得=2[3＋4＋…＋(n＋1)]=(n－1)(n＋4)∴=＋

7、(n－1)(n＋4)=n2＋3n＋1．∴f(n)=（二）求函数方程中的某些函数值或者确定函数方程的函数性质在解决这一类的问题的时候，我们可以借用前面介绍过的一些方法来处理．例11．设函数对任意非零实数满足．求证：（1）．（2）是偶函数．解：（1）令即得；（2）令即得．例12．函数定义在有序正整数对的集合上，且满足下列性质：，．计算：．解：由题意得到．例13．定义在实数集上的函数与满足：（1），（2）对任意实数都有，求证：．证明：令得到…①，在①中令，有．（1）如果，代入①式得到，此时必有，所证成立．（2）如果，代入①式得到，

8、此时必有，所证亦成立．例14．已知函数定义在非负整数集上，且对任意都有，如果求的值．解：在上式中，对其中的分别用代换且相加得到，所以是周期为6的周期函数，．例15．函数的定义域关于原点对称，但不包括0；对于定义域中的任意，在定义域中存在数使得，且满足以下三个条件：（1）是定义域中的数，或者