一道不等式证明题课堂教学实录.doc

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1、一道不等式证明题课堂教学实录简介不等式的证明(高二《数学》第二册(上)第六章第三节)这一小节内容较多，既是本章的重点，也是本章的难点。证明不等式就是要证明所给不等式在给定的条件下恒成立。由于不等式的形式多种多样，所以证明不等式的方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓。为了开阔学生的知识视野，培养学生的分析问题和解决问题的能力，增强学生学习数学的兴趣。教学设计【教材分析】   不等式的证明(高二《数学》第二册(上)第六章第三节)这一小节内容较多，既是本章的重点，也是本章的难点。证明不等式就是要证明所给不等式在给定的条件下恒成立。由于不等式的形式多种多样，所以证明不等式的方法也就灵活

2、多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓。为了开阔学生的知识视野，培养学生的分析问题和解决问题的能力，增强学生学习数学的兴趣，在复习不等式的证明方法时提供了这样的一个例题：   设a、b均为正数，且a+b=1，求证：≤    【教学实录】   经过认真思考，有很多同学很快就写出了求解过程。   生1：证：设≤   则（）2≤8，2(a+b)+2+2≤8   ∵a+b＝1，上式化为4+2≤8   即≤2也就是：ab≤，   ∵a＞0，b＞0，a+b=1  ∴1=a+b≥2    ∴ab≤成立，又上述推理每步都可逆，故原不等式成立。   师：运用分析法是证明不等式的常用方法，非常有利于我们找到证题

3、的途径。同学们是否能结合本题的基本特点，运用所学过的基础知识，找到其他的证法呢?   (话音未落，教室内就响起了一片窃窃私语声，一部分学生皱着眉头沉思，一部分学生拿起笔在纸上探究，并开始互相交流。)   生2：证：∵()2≥0   ∴()2　　≤()2+()2  ＝2(2a+1+2b+1)   而a+b=1上式即化为：   ()2　　≤8   ∴()≤2    师：很好!此证法观察仔细，非常巧妙、简捷。   生3：证:∵a+b=1可设a=   2a+1=2+2t　2b+1=2-2t  ∴（）2=2a+1+2b+1+2                          =4+2         

4、                 =4+2≤     ∴     +≤2    师：巧设参数换元是一种行之有效的证法，换元法除了代数换元，还有三角换元，此题是否适用呢?   生4：三角换元必须具备a2+b2=l的形式，这个题不具备这个特点，……啊……不……(迅速动手演算)。   生5：证：∵a+b=1，设a=sin2x　b=cos2x（0＜x＜）   ∴(+)2　　   =()2　　   =    =   ≤4+2   ∴原式成立。   生4：(兴高采烈地)还可以这样做：   证：∵a+b=1，则 即  可设（0＜x＜） 于是                      ＝sin(x+)≤   

5、 ∴原不等式成立。   师：好!看似不行，但适当变形有“柳暗花明又一村”的感觉，确实让人体会到解决难题后的乐趣。   (部分学生还在回味前几种做法，有的学生仍在寻求另外的解法，出现了短暂的寂静。)   师：题目中有两个未知量，可否消去一个得到以一个字母为自变量的函数，通过求函数的极值来探究呢?   生6：证：∵a+b=1           ∴b=1-a ( = ≤4+2 ∴()≤    师：确实如此，这也是一种常用方法。   生7：证：≤             ≤     ∴()≤ 2        师：很好!运用均值不等式巧妙地寻找一个恰当的常数，这种证法在解一些较难的问题时经常应用。 

6、  生8：(该生思维敏捷，知识面较广，课外阅读量较大。)   证：∵a+b=1(2a+1)+(2b+1)=4   由柯西不等式，得8=[(2a+1)+(2b+1)][12+22]                  ≥()2　　 ∴≤2   生9:设y=，则y＞0 且有   2a+1+2b+1=y2sin4x+y2cos4x  4=y2(sin4x+cos4x)  y2=  =≤    ∴y≤2    　≤2   师：运用逆向思维，实行倒代换，看似较繁，但这种思考方法对处理某些条件不等式或条件极值不等式常常十分有效。通过本例的学习，人们应当体会到多角度、以广阔的视野思考问题的重要性。进一步景色迷

7、人，退一步同样海阔天空，难道不正是人生的哲理吗?