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《专题：数列的综合应用(含答案)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题：数列的综合应用【知识概要】1．数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列。（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.（5）分组求和法（6）累加（乘）法等。2．常用结论（1）1+2+3+...+n=（2）1+3+5+...+(2n-1)=（3）（4）（5）（6）3．高考关于数列方面的命题主要有
2、以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。【例题精讲】【题型1】数列创新题例1、设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前n项和。解：（Ⅰ）由得即可得因为，所以
3、解得，因而（Ⅱ）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和前两式相减，得即例2、数列的前项和为，已知（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；（Ⅱ）设，求数列的前项和。解：由得：，即，所以，对成立。由，，…，相加得：，又，所以，当时，也成立。（Ⅱ）。而，，例3、已知数列{an}满足a1=a,an+1=1+我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，如当a=1时，得到无穷数列：（Ⅰ）求当a为何值时a4=0；（Ⅱ）设数列{bn }满足b1=－1,bn+1=，求证a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数
4、列{an}；（I）解法一：故a取数列{bn}中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{an}例4、在等差数列中，公差的等比中项.已知数列成等比数列，求数列的通项解：由题意得：……………1分即…………3分又…………4分又成等比数列,∴该数列的公比为，………6分所以………8分又……………………………………10分所以数列的通项为……………………………12分【题型2】数列与不等式的综合题例5、已知有穷数列共有2项（整数≥2），首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常数＞1．（1）求证：数列是等
5、比数列；（2）若＝2，数列满足＝（＝1，2，┅，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式
6、－
7、＋
8、－
9、＋┅＋
10、－
11、＋
12、－
13、≤4，求的值．(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则=a；2≤n≤2k－1时,an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.(2)解：由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).（3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<；当n≥
14、k+1时,bn>.原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)==.当≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.【题型3】数列与函数的综合题例6、已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基
15、础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求
16、的最小正整数m为10.例7、设，定义，其中n∈N*.（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）若，解：（1）＝2，，，∴∴，∴数列｛an｝上首项为，公比为的等比数列，（2）两式相减得：例8、设数列的前n项和为，点均在函数y＝3x－2的图像上。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m。本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算
