第3章-线性方程组解法-第2节-向量范数等价性证明.ppt

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1、向量范数定义9（向量范数）（1）正定性（2）齐次性（3）三角不等式1.向量范数的定义2.常用的向量范数定义10称为向量的能量范数。（1）向量的“∞”范数：（2）向量的“1”范数：（3）向量的“2”范数：（4）向量的能量范数：证“1”范数时，用注：Cauchy不等式3.范数的等价性定理20定理19证明：事实上，范数的等价性定理19证明：于是有(2)注：(3)(1)5向量范数概念可以推广到矩阵.视中的矩阵为中的向量，则由上的2范数可以得到中矩阵的一种范数称为的Frobenius范数.显然满足正定性、齐次性及三角不等式.定义如果矩阵的某个非负的实值函数,(矩阵的范数)满足条件6（

2、5.4）则称是上的一个矩阵范数(或模).上面定义的就是上的一个矩阵范数.由于在大多数与估计有关的问题中，矩阵和向量会同时参与讨论，所以希望引进一种矩阵的范数，它和向量范数相联系而且和向量范数相容的.7（5.5）定义设,，给出一种向量范数(如或∞)，相应地定义一个矩阵的非负函数即对任何向量及都成立(矩阵的算子范数)（5.6）可以验证满足定义4，所以是上矩阵的一个范数，称为的算子范数.8定理1设是上一个向量范数，则是（5.7）证明由(5.7)，有上矩阵的范数，且满足相容条件由(5.6)相容性条件(5.7)是显然的.现只验证定义4中条件(4).当时，有9故显然这种矩阵范数依赖于具体的

3、向量范数.也就是说，给出一种具体的向量范数，相应地就可得到一种矩阵范数.定理2设,，则10其中表示的最大特征值.证明1.设,不妨设.则只就1，3给出证明，2同理.记11这说明对任何非零，（5.8）接下来说明有一向量,设，取向量,有使其中显然,且的第个分量为，这说明123.由于对一切从而的特征值为非负实数，（5.9）为对称矩阵，设为的相应于(5.9)的特征向量且，又设为任一非零向量，设为于是有13其中为组合系数，则另一方面，取，则上式等号成立，故例设，计算的各种范数.解14对于复矩阵(即)定理18中的第1,2项显然也成立，3应改为15定义设的特征值为,为的谱半径.定理3设,则,即的

4、谱半径不超过的任何一种算子范数(对亦对).称(特征值上界)证明设是的任一特征值，为相应的特征向量，则，由相容性条件(5.7)得注意到,即得16定理4如果为对称矩阵，定理5如果，则为非奇异矩阵，其中‖·‖是指矩阵的算子范数.则且证明若,使,,用反证法.则有非零解，即存在又由，有故，与假设矛盾.17从而18将实数向量范数等价性证明向量范数概念是三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在数值分析中起着重要作用.定义1（或）.设（或复数）称为向量的数量积.19将非负实数或称为向量的欧氏范数.定理6关于范数，成立如下定理.设则205.(Cauchy-Schwarz不等式)等号当且仅当与线性相关时成

5、立；6.三角不等式21也可以用其他办法来度量向量的“大小”.向量的欧式范数可以看成是对中向量“大小”的一种度量.例如，对于可以用一个的函数来度量的“大小”，而且这种度量“大小”的方法计算起来比欧氏范数方便.一般要求度量向量“大小”的函数满足正定性、齐次性和三角不等式.22（1）则称是(或)上的一个向量范数(或模).由(3)定义2如果向量(或)的某个实值函数，满足条件：(向量的范数)23（2）从而有几种常用的向量范数.1.向量的-范数(最大范数)：2.向量的1-范数：243.向量的2-范数：也称为向量的欧氏范数.4.向量的-范数：其中.可以证明向量函数是上向量的范数,且容易说明上述三种

6、范数是-范数的特殊情况.25如果例计算向量的各种范数.解定义3设为中一向量序列，则称收敛于向量，记记为26定理7(的连续性)为上任一向量范数，则是的分量设非负函数的连续函数.证明设其中只须证明当时.事实上27即其中28的任意两种范数，定理8设为上向量则存在常数证明只要就证明上式成立即可，即证明存在常数使考虑泛函(向量范数的等价性)有使得对一切29由于为上的连续函数，所以于上达到最大最小值，记则是一个有界闭集.即存在使得设且则从而有（5.3）显然上式为30即定理3不能推广到无穷维空间.由定理15可得到结论：如果在一种范数意义下向量序列收敛时，则在任何一种范数意义下该向量序列均收敛.向

7、量序列的极限设有向量序列若n个数列收敛，即设有向量序列则有定义11１、定义例11或说向量序列的收敛定义12称非负实数之间2.距离为向量的任何一种意义下范数。距离，其中且记定理21为Rn中一向量序列，且为向量的任一种范数。证明：由范数的等价性定理有：对v=1也可采用以下证法注：