(4-6)部分习题及其解答.doc

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1、本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为：，，，，，试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。解：应力矢量的三个分量为，，总应力。正应力。剪应力。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。证：利用应力张量的对称性，可得。证毕。4.3某点的应力张量为且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有即，，(a)上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的

2、。所以必有。将代入式(a)，利用11，可求得。4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量，满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。在的边界上，有边界条件，所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得(1)在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成，，，(2)斜面上的外法向方向余弦为，，(3)将式(2)和(3)代入边界条件，得(4)联立求解(1)和(4)，得，，114.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为，，

3、，，和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。解：在的边界上，有边界条件，将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为，，把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为或按题意，边界条件为因此即上式的指标形式为。114.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。解：球面的外法向单位矢量为或当时，有边界条件即或。当时，球面上的压力为，其

4、中为重力加速度，边界条件为即或。4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以所以，只要令，就有。(2)表面上的面力为或。4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。解：应力张量的三个不变量为：，，。特征方程是上式的三个根即三个主应力为和4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为11，，求八面体各个面上的正应力和剪应力。解：，，，。4.11某点的应力分量为，，求：(1)过

5、此点法向为的面上的正应力和剪应力；(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。解：(1)，。正应力为。剪应力为。由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。(2)用表示主应力，则所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章5.1把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。解：115.2橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图5.2所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中

6、的最大剪应力。解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有5.3证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质？试举例说明。解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则(1)各向同性的胡克定律是将上式代入式(1)，得，即由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式(5.14)得若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即上式只

7、能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。115.4对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。解：由式(5.17)可得主应力和主应变之间的关系(1)……第六章6.1为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的？解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。6.2设其中、、、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。解：同理。由上面两式及和是调和函数可得(1)因、、、为调和函数，所以(2)将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，

8、得上式成立