上海交大数值分析课件数值分析5-3

《上海交大数值分析课件数值分析5-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、一、直接三角分解法第五章解线性方程组的直接法§3矩阵的三角分解法二、平方根法三、追赶法一、直接三角分解法1.定义直接从矩阵A的元素得到计算L、U元素的递推公式，而不需任何中间步骤，这就是所谓直接三角分解法。进行矩阵三角分解的意义若A实现了LU分解，则Ax=b(LU)x=bLy=bUx=y3.矩阵的三角分解法举例解方程组解：系数矩阵为则求解原方程组可转化为如下两个三角形方程组：解得解得???思考:能否不通过高斯消去法而直接获得系数矩阵的三角分解呢？即单位下三角阵上三角阵解：令由矩阵相等的定义得1矩阵的这种分解称为Doolittle分解3.不选主元的三角分解法L，U的元素可以直接

2、计算定出，其中（具体公式详见书）二、平方根法1.初步介绍平方根法适用于系数矩阵为对称正定阵的方程组的求解。其利用对称正定矩阵的三角分解而得到求解对称正定方程组的一种有效方法，目前在计算机上广泛应用平方根法解此类方程组。2.基本原理原理1(对称阵的三角分解定理)设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均不为零，则A可唯一分解为A=LDLT其中L为单位下三角阵，D为对角阵.证明：由于A所有的顺序主子式不为零，则A有唯一的LU分解。将U再分解为其中D为对角阵，U0为单位上三角阵，于是又由分解的唯一性得即原理2(对称正定阵的三角分解定理)设A为n阶对称阵，且A的所有顺序主子式均大于零，

3、则存在一个非奇异下三角阵L使A=LLT，当限定L的对角元素为正时，这种分解是唯一的。矩阵的这种分解称为Cholesky分解证明：由原理1可知A可分解为则由于对于任意非零向量x，y=(LT)-1x也为非零向量，于是由A的正定性即D正定，所以D的对角元素均为正数，令则3.实际计算利用矩阵相等的定义，通过比较可计算出分解式中的系数。设比较A与LLT的相应元素，可得计算公式。三、追赶法1.初步介绍追赶法适用于系数矩阵为三对角阵的方程组的求解。其利用系数矩阵的特点，可以将A分解为两个三角阵的乘积，A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵。2.基本原理设系数矩阵分解为通过比较可得

4、各参数，注意γi的取值。a2a3an注：追赶法的基本思想与高斯消去法及三角分解法相同，只是由于系数矩阵中出现了大量的零，计算中可以将它们撇开，从而使计算公式简化。作业：习题4,5,8,9,10