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1、……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………线性代数习题解答——陈万勇 习题一1。1利用对角线法则计算下列三阶行列式.(１);解:＝２´(-4）´3+０´（－1）´（—1)＋1´１´８—０´1´3—2´(—1）´8—1´（-4)´(—1）=—2４+8+1６-4=—４．（2）;解：=ａcb+bac+cba—bｂb—aaａ—ｃcｃ=3ａbc-a3—b3—ｃ3。(3)；44/44……………………………………………………………最新资料推荐………………………
2、…………………………解：＝bc2＋ｃａ2+ab2—ac２-ba２-ｃb2=(a—ｂ)（ｂ—ｃ)(ｃ-ａ).（４)。解：＝x（x+ｙ）y＋yx（x+y)+(x+y）yｘ—y3—(x＋y)3－x3＝３xｙ(x+y)－y3-3x２y—x3—y3－ｘ３＝－2（x3+ｙ3).１。2按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数．(１)1 234;解:逆序数为0(２)４1 32;解逆序数为4: ４1,43, 4２，３2.（3）3421；解:逆序数为5:3 ２,３ 1，42,41,21．(4)2４13;解:逆序
3、数为３： 2１,41,4３。（５)13 ×××(2n-１)２4 ×××（2n）；解:逆序数为:32(１个)５2,54（2个）７２，7 4,７6(3个)××××××（2n—1）2，(2ｎ—１)４,(2ｎ－1)6,×××，（2ｎ-1)（2ｎ－2) (ｎ—１个)（6）13×××(2n-1)(2n)（2ｎ—2）×××2．解：逆序数为ｎ(n-1)：３２(1个)５2，54（2个)××××××（2n-1)2, (2n—1)4，(２n-１)6，×××,（2n—１）（2n—２) （n—1个)４2（1个)６2，６ 4(
4、２个)××××××(2n)2, （2n）4， (2n)6,×××,(2ｎ）(2ｎ—２）（n—１个）1.３写出四阶行列式中含有因子a11a2３的项.44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………解：含因子a11a23的项的一般形式为：（-1）ta11a23a3rａ4s,其中r、s是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11ａ23的项分别是(-1)ｔa11a23a32a44=(-1）1a11a23a32a４4=-a11a
5、23a32a4４,（-1)ｔa１１a２3a34ａ42=（-1)2a11ａ2３ａ34a4２=a11a2３a34ａ42.１.４计算下列各行列式.(1)；解:。(2）；解：。(3)；44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………解：.(４)．解:=aｂｃd+ａｂ＋cd+ａd＋1．１.5证明:（1）=(a—b）3;证明：=(ａ－b)3.（２）；证明:44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………
6、………．（3);证明：(ｃ4—c3,c3-c2,ｃ2-c1得）(c４-ｃ3，c3-c2得）.(４)=(a—b)(a—c)(a-d)（b—c)（b—d)(c—d)（a+b+c+ｄ)；44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………证明：=(a－b）（ａ-c）（a-d）(b-c)（b—d)(c-d）(a+b＋c+d）.(5)=xｎ+a1ｘn—1+×××+an-1x+aｎ。证明：用数学归纳法证明.当ｎ=２时，，命题成立.假设对于(n-1）阶行列式命
7、题成立,即Dｎ-1＝xn—1+a１xn—2+×××+ａｎ—2ｘ＋aｎ—1,则Dｎ按第一列展开,有=xDｎ-1+ａn=xn+a１xn—1+×××+an—1x+an。因此， 对于ｎ阶行列式命题成立。１。6设n阶行列式Ｄ＝det（ａij）, 把D上下翻转、或逆时针旋转９0°、或依副对角线翻转， 依次得,,，证明，Ｄ３=D.44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………证明:因为Ｄ=det(aij）, 所以.同理可证。。1。7计算下列各行列式（Ｄｋ
8、为k阶行列式)。（１),其中对角线上元素都是a， 未写出的元素都是0；解:（按第n行展开)44/44……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………=an-an-2=an—2（a2—１).（2)解:将第一行乘（-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得＝［x＋(n－1)a](ｘ—ａ）n—1。(3）；解:根据第6题结果,有此行列式为范德蒙德行列式.44/44……………………………………………………………最新资料
