王高雄版《常微分方程》习题解答3.4.doc

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1、习题3.4(一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、解：令，则，两边对x求导，得从得时，；从得，为参数，为任意常数.经检验得，（）是方程奇解.2、解：令，则，两边对x求导，得，解之得，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.3、解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，从中消去c,得到奇解.4、解：这是克莱洛方程，因此它的通解为，从中消去c,得到奇解.5、解：令，则，两边对x求导，得，解之得，所以，可知此方程没有奇解.6、解：原方程可化为，这是克莱罗方程，因此其通解为，从中消去c，得奇解.7、解：令，则，两边对x求导，得，所

2、以，可知此方程没有奇解.8、解：可知此方程没有奇解.9、解：令，则，两边对x求导，得解之得，所以，且也是方程的解，但不是方程的奇解.10、解：这是克莱罗方程，因此方程的通解为，从中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲线族的包络.1、解:对c求导，得x+2c=0,,代入原方程得，，经检验得，是原方程的包络.2、解：对c求导，得，代入原方程得，即，经检验得是原方程的包络.3、解：对c求导，得–2(x-c)-2(y-c)=0,,代入原方程得.经检验,得是原方程的包络.4、解：对c求导，得-2(x-c)=4,c=x+2,代入原方程得，,经

3、检验，得是原方程的包络.(三)求一曲线，使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c.解：设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系，则曲线上任一点（x,y(x)）的切线方程为，它与X轴、Y轴的截距分别为，，按条件有，化简得，这是克莱洛方程，它的通解为一族直线，它的包络是，消去c后得我们所求的曲线.(四)试证：就克莱洛方程来说，p-判别曲线和方程通解的c-判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解.证：克莱洛方程y=xp+f(p)的p-判别曲线就是用p-消去法，从中消去p后而得的曲线；c-判别曲线就是用c-消去法

4、，从通解及它对求导的所得的方程中消去c而得的曲线，显然它们的结果是一致的，是一单因式，因此p-判别曲线是通解的包络，也是方程的通解.