第一讲--集合概念及集合上的运算.doc

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1、龙泉中学校本课程----《数学奥赛》王健第一讲集合概念及集合上的运算l知识、方法高中一年级数学（上）课本中给出了集合的概念；一般地，符合某种条件（或具有某种性质）的对象集中在一起就成为一个集合.在此基础上，介绍了集合的元素的确定性、互异性、无序性.深入地逐步给出了有限集、无限集，集合的列举法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、补集、并集等十余个新名词或概念以及二十几个新符号.由此形成了在集合上的运算问题，形成了以集合为背景的题目和用集合表示空间的线面及其关系，表面平面轨迹及其关系，表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组

2、合计数等综合型题目.主要知识:1.元素与集合：a∈A,bÏA2.集合与集合：AB,AÌB,AÍB,A∩B,A∪B,UA,……3.差集：A－B＝{x

3、x∈A且xÏB}(部分资料上用“AB”表示)4.集合运算律：(略)5.n个元素的集合所有子集个数为：2n6.覆盖与划分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn，则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j),则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分.7.容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(A∪B∪C)

4、＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)该结论可以推广到n个集合.8.数学悖论：对于命题p，如果p正确，则可以推导出“非p”，而如果p错误，又可以推导出p正确。也称“二难问题”。l赛题精讲第一讲Ⅰ．集合中待定元素的确定充分利用集合中元素的性质和集合之间的基本关系，往往能解决某些以集合为背景的高中数学竞赛题.请看下述几例.例1：已知【思路分析】先进一步确定集合A、B.【略解】又∴A=【评述】此题应避免如下错误解法：联立方程组消去因方程无实根，故.这

5、里的错因是将A、B的元素误解为平面上的点了.这两条抛物线没有交点是实数.但这不是抛物线的值域.6龙泉中学校本课程----《数学奥赛》王健例2：已知集合若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为.【思路分析】可作图，以数形结合法来解之.【略解】点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如图Ⅰ－1－1－1）.将，变形为所以，集合B是由四条直线构成.欲使为正八边形的顶点所构成，只有这两种情况.（1）当时，由于正八形的边长只能为2，显然有故.（2）当时，设正八形边长为l，则这时，综上所述，a的值

6、为图Ⅰ－1－1－1如图Ⅰ－1－1－1中【评述】上述两题均为1987年全国高中联赛试题，题目并不难，读者应从解题过程中体会此类题目的解法.2.集合的概念与运算问题集合的概念是数学的基础概念，因此集合内容的竞赛题往往具有概念性强和涉及的知识广泛等特点.深刻地理解集合的有关概念是解决集合问题的关键.例3．若非空集合，，则能使成立的所有的集合是：.AB322解：由可知：，如下图：即.评析：借助于文氏图或数轴可以直观地显示出集合与集合的关系，使题设更加明确.例4．已知集合与集合，若，则实数的所有可能值的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：由，知

7、.由知N可能是φ，，.而且，当且仅当：φ；；.故应选D.评析：解关于集合问题时要注意φ的特殊性.6龙泉中学校本课程----《数学奥赛》王健3．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。例5．设，求证：（1）；（2）若，则[证明]（1）因为，且，所以（2）设，则（因为）。第二讲4．集合之间的基本关系充分应用集合之间的基本关系（即子、交、并、补），往往能形成一些颇具技巧的集合综合题.请看下述几例.例１：设集合则在下列关系中，成立的是（）A．B．C．D．【思路分析】应注意数的特征，即【解法1】∵∴.故应选C.【解法2】如果把A、B、C、D与

8、角的集合相对应，令结论仍然不变，显然A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集合，C′为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线上的角的集合，故应选（C）.【评述】解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解.例２：设有集合（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）.【思路分析】应首先确定集合A与B.从而∴若6龙泉中学校本课程----《数学奥赛》王健从而得出于是【评述】此题中集合B中元素x满足“

9、x

10、<3”时，会出现什么样的结果，

11、读者试解之.例３：设如果A为只含一个元素的集合，则A=B.【思路分析】应从A为只含一个元素的集合入手，即从方程有重根来解之.【略解】设有重根，于是即整理得因均为实数即【评述】此类函数方程问题，应注意将之转化