资源描述：
《高等代数知识点归纳.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、A,ij,ai1Aj1ai2Aj2LainAjn0,ij.AOAAOOB=BABOBOA=ABO(1)mnABBOa1nOa1na2n1a2n1(1n(n1)2NN)an1Oan1Oa1na2nKan1范德蒙德行列式：11L1x1x2Lxnx12x22Lxn2xixjMM1jinMxn1xn1Lxn112n代数余子式和余子式的关系：Mij(1)ijAijAij(1)ijMijA11B11A11B11nAn分块对角阵相乘：A,BAB,A11A22AnB22A22B2222ABTATCT分块矩阵的转置矩阵：CDBTDTA11A21LAn1A*AijTA12A22LAn
2、2，Aij为A中各个元素的代数余子式.MMMA1nA2nLAnnAA*A*AAE,A*n1A11A,A.A*BA*分块对角阵的伴随矩阵：BAB*第1页共6页矩阵转置的性质：(AT)TA矩阵可逆的性质：(A1)1A(A)n2伴随矩阵的性质：AAn若r(A)nr(A)1若r(A)n10若r(A)n11B1a1ABA1(AB)TBTATATA(A1)T(AT)1(AT)(A)T(AB)1B1A1A11(A1)k(Ak)1AkA(AB)BAAn1(A1)(A)1A(Ak)(A)kAAABABAkAkAAAAAE（无条件恒成立）1111a1a1a3a21a21a2a2a31
3、a31a3a1矩阵的秩的性质：①AOr(A)≥1;AOr(A)0;0≤r(Amn)≤min(m,n)④若Amn,Bns,若r(AB)0r(A)r(B)n的列向量全部是Ax的解B0⑤r(AB)≤minr(A),r(B)⑥若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.Ax只有零解⑦若r(Amn)nr(AB)r(B)；在矩阵乘法中有左消去律ABOBOAABACBC若r(Bns)nr(AB)r(B)在矩阵乘法中有右消去律.B若()与唯一的ErO等价，称ErO等价标准型.⑧为矩阵的rArAOOOOA⑨r(AB)≤r(A)r(B),max
4、r(A),r(B)≤r(A,B)≤r(A)r(B)⑩AOOA()(),AC()()rBBOrArBrBrArBOO第2页共6页标准正交基n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.与正交(,)0.记为：Tn④向量a1,a2,L,an(,)ai2a12a22Lan2的长度i1⑤是单位向量(,)1.即长度为1的向量.内积的性质：①正定性②对称性③线性性ntrA，trA称为矩阵A的迹.A12Ln1i特征值与特征向量的求法(1)写出矩阵A的特征方程AE0，求出特征值i.(2)根据(AiE)x0得到A对应于特征值i的特征向量.设(AiE)x0的基础解系为1,2,Lnr
5、i,其中rir(AiE).则A对应于特征值i的全部特征向量为k11k22Lknrinri,其中k1,k2,L,knr为任意不全为零的数.i3.A与B相似P1APB（P为可逆矩阵）A与B正交相似P1APB（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵相似.（称是A的相似标准形）7.矩阵对角化的判定方法①n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，P1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：1P1AP2.On第3页共6页②A可相似对角化nr(iEA)ki，其中
6、ki为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.注A可相似对角化i的重数nr(A)Ax基础解系的个数.○：当i0为A的重的特征值时，③若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化.正交矩阵AATE③正交阵的行列式等于1或-1；⑤两个正交阵之积仍是正交阵；⑥A的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化1,2,3线性无关,11正交化单位化：2233111(2,1)(1,11)(3,1)(3,2)(1,1)1(2,2)2232323第4页共6页a11a12La1nx1nna21a22La2nx21.二次型f(x1,x2,L,xn)aijxixj(x1,x2,L,x
7、n)LLLLLi1j1an1an2Lannxn其中A为对称矩阵，x(x1,x2,L,xn)TA与B合同CTACB.（A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵）求C(AI)→(BC^T)这个变换先进行行变换再进行一致的列变换最后求得C和C^T正惯性指数二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数④两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⑤两个矩阵合同的充分条件是：A与B等价⑥两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B)正交变换nxTAx经过22.f(x1,x2,L,xn)合同变换xCy化为fdiyi标准形.可逆线性变换1正交变换法
