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1、个人整理精品文档，仅供个人学习使用第五章二次型基础练习及参考答案一.填空题、实二次型(x1,x2)22x1的矩阵为，秩为，正惯性指数为，规范形41x2为.、与对称矩阵合同的矩阵只能是矩阵.、复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形由所唯一确定.、实二次型f(x1,x2,,xn)d1x12d2x22dnxn2正定di，,⋯.、写出级实对称矩阵所有可能的规范形：，，，，，，，，，..实二次型f(x1,x2,,xn)XTAX正定.二.判断题1、设、为阶方阵，若存在阶方阵，使CTACB，则与合同.（）、若为正定矩阵，则的主对
2、角线上的元素皆大于零.（）、若为负定矩阵，则必有A0.（）、实对称矩阵半正定当且仅当的所有顺序主子式全大于或等于零.（）、若负定，则的所有顺序主子式全小于零.（）、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.（）nn、若实二次型f(x1,x2,,xn)aijxixj的符号差为，令bijaij，则二次i1j11/6个人整理精品文档，仅供个人学习使用nn型g(x1,x2,,xn)bijxixj的符号差为－.（）i1j1三.求二次型f(x1,x2,x3)x123x222x1x26x2x3的标准形，并写出所作的非退化线性替换.
3、四.证明题.证明：若为负定矩阵，则存在可逆矩阵，使APTP0..设,都是正定矩阵,证明也是正定矩阵..如果是正定矩阵,证明A1也是正定矩阵.2/6个人整理精品文档，仅供个人学习使用第五章二次型基础练习及参考答案一.填空题22x123，、实二次型(x1,x2)1x2的矩阵为，秩为，正惯性指数为431标准形为2x1211x22，规范形为x12x22.2二次型的矩阵必须是对称矩阵.、与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵.设是对称矩阵,与合同,则BCTAC,其中是可逆矩阵,于是BT(CTAC)TCTATCCTAC,所以也是对称
4、矩阵.、复二次型f(x1,x2,,xn)的规范形由它的秩所唯一确定.因为复二次型的规范形为y12y22yr2,其中是二次型的秩.、实二次型f(x1,x2,,xn)d1x12d2x22dnxn2正定di>，,⋯.d1d2二次型的矩,二次型正定的充要条件是其矩的序主子dn式都大于零,于是有d10,dd20,得d20,又dd2d30,得d30⋯依次下11,,去得所有di0,i1,2,...,n.反之,若di0,i1,2,...,n,则对于任意的(c1,c2,.c.n).,Rn,f(c1,c2,...,cn)d1c12d2c
5、22dncn20,所以二次型正定.、写出级实对称矩阵所有可能的规范形：，，，，3/6个人整理精品文档，仅供个人学习使用,,(),，，.实二次型f(x1,x2,,xn)XTAX正定的顺序主子式均大于零对任意的(c1,c2,...,cn)Rn12n)0.,f(c,c,...,c二.判断题.设、为阶方阵，若存在阶方阵，使CACB，则与合同.（）应该是存在可逆矩阵.、若为正定矩阵，则的主对角线上的元素皆大于零.（）、若为负定矩阵，则必有A0.（）当是奇数阶矩阵时,结论成立.、实对称矩阵半正定当且仅当的所有顺序主子式全大于或等
6、于零.（）、若负定，则的所有顺序主子式全小于零.（）正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零,偶数阶的顺序主子式大于零.、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.（）非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.nn、若实二次型f(x1,x2,,xn)aijxixj的符号差为，令bijaij，则二次i1j1nn型g(x1,x2,,xn)bijxixj的符号差为－.（）i1j1nnnn这是因为g(x1,x2,,xn)bijxixjf(x1,x2,,xn)aijxixj,所以它i1j1i1j1们的秩相等,正负惯性指数互为相反数
7、.三.求二次型f(x1,x2,x3)x123x222x1x26x2x3的标准形，并写出所作的非退化线性替换.写出该二次型的秩,正惯性指数和符号差.这是一个什么二次型(正定,负定,不定)解法：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形:4/6个人整理精品文档，仅供个人学习使用110100c33133043c24A030c2c1030r33r2r2r14E1001100100100010011000400094113.40134001113x14y1经过非退化线性替换x2013y2，标准形为x124x229x32.x3004y
8、341解法.(配方法)f(x1,x2,x3)x123x222x1x26x2x3(x1x2)24x226x2x3(x1x2)24(x23x3)29x32443y1x1x2x1y1y24y3令y2x23x3,即x2y23y3,则二次型化为标准形:44y3x3x3y3222292f(x1,x2,x3)x13x22x1x26x2x3y14y24y3.该
