高数中需要掌握证明过程的定理(二).docx

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1、高数中的重要定理与公式及其证明（二）在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。1）泰勒公式（皮亚诺余项）设函数f(x)在点x0处存在n阶导数，则在x0的某一邻域内成立xx02xx0nf(x)f(x0)xx0f'f''n(x0)(x0)...f(n)(x0)oxx02!n!【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sinx,cosx,ln(1x),ex,(1x)a）在x0处

2、的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期，如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。证明：2n令R(x)f(x)f(x0)xx0f'(x0)xx0f''(x0)...xx0f(n)(x0)2!n!则我们要证明R(x)oxx0n。由高阶无穷小量的定义可知，需要证明limR(x)0。xnxx0x0这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的，因此用洛必达法则得n1R(x)f'(x)f'(x0)xx

3、0f''(x0)...xx0f(n)(x0)limlimn1!nnxx0n1xx0xx0xx0再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。不难验证该过程可以一直进行下去，运用过n1次洛必达法则后我们可以得到limR(x)f(n1)(x)f(n1)(x0)xx0f(n)(x0)nlimn!xx0xx0xx0xx0limf(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(x0)n!xx0n!xx0由于f(x)在点x0处存在n阶导数，由导数的定义可知limf(n1)(x)f(n1)(x0)f(n)(

4、x0)xx0xx0代入可得limR(x)0。nxx0xx0证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证明：直接用n次洛必达法则后得到limR(x)nlimf(n)(x)f(n)(x0)0xx0xx0xx0错误的原因在于定理条件中仅告知了f(x)在点x0处存在n阶导数，并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在。就算其它点处的n阶导数也存在，f(n)(x)也不一定连续，limf(n)(x)f(n)(x0)0也不一定成立。xx0希望大家注意。2）泰勒公式（拉格朗日余项）设函数f(x)含有点x0的某个开区间(a,b)内有直到n1阶导数，则对

5、(a,b)内任意一点x，都成立2nf(x)f(x0)xx0f'(x0)xx0f''(x0)...xx0f(n)(x0)Rn(x)2!n!n1其中Rn(x)xx0f(n1)()，其中介于x和x0之间。(n1)!【点评】：同上。证明：xx02xx0n令R(x)f(x)f(x0)xx0f'(x0)f''(x0)...f(n)(x0)2!n!Pn1(x)xn1x0则我们需要证明R(x)f(n1)()。Pn1(x)(n1)!由于R(x0)Pn1(x0)0，因此R(x)R(x)R(x0)Pn1(x)Pn1(x)Pn1(x0)易知，R(x

6、),Pn1(x)满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在x和x0之间存在一点1使得R(x)R(x0)R'(1)R'(1)Pn1(x)Pn1(x0)Pn'1(1)n1Pn(1)n1而R'(x)f'(x)f'(x0)xx0f''(x0)...xx0f(n)(x0)(n1)!因此，此时仍然有R'(x0)Pn(x0)0。则R'(1)1R'(1)R'(x0)。n1Pn(1)(n1)Pn(1)Pn(x0)易知，R'(x),Pn(x)仍满足柯西中值的条件。因此，由柯西中值定理可知，在1和x0之间存在一点2使得1R'(1)R'(x0

7、)1R''(2)R''(2)。n1Pn(1)Pn(x0)(n1)Pn'(2)n1nPn1(2)由于1在x和x0之间，因此2也在x和x0之间。容易检验，上述过程可以一直进行下去，使用过n1次柯西公式后即可得到R(x)f(n1)()。Pn1(x)(n1)!证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时，一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证明题时用拉格朗日余项比较多。两种泰勒公式的条件是不同的，其中拉格朗日余项的条件更强，结论也更强。这两个定理的证明，如果基础不太好一时接受不了的话可以先跳过，到下一阶段再看。3）定积分中值定理设函数f(x

8、)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点使得下式成立：bf()(ba)f(x)dxa【点评】：积分中值定理是定积分比较定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论，它在是证明微积分基本定理的基础，在整个微积分中具有极大的理论意义。同时，证明题中对该定理的应用也比较常见，通常