[高考数学复习课件]2011年高考数学第一轮总复习知识点课件(3).ppt

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1、第二节直接证明与间接证明基础梳理1.证明（1）证明分为与.直接证明包括、等；间接证明主要是.（2）综合法:一般地，利用，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.（3）分析法：一般地，出发，逐步寻求使，直至最后，把要证明的结论归结为（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫做分析法.直接证明间接证明综合法分析法反证法已知条件和某些数学定义、定理、公理等从要证明的结论它成立的充分条件判定一个明显成立的条件原命题不成立正确的推理假设错误证明了原命题成立“由因导果”（4）反证法：一般地，假设（即在原命题的条件下，结论不成立

2、），经过,最后得出矛盾，因此说明，从而，这样的证明方法叫做反证法.2.直接证明（1）综合法是，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“”.（2）分析法是，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知.3.间接证明用反证法证明问题的一般步骤:（1）：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论）（2）：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义

3、、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）（3）：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)“执果索因”反设归谬结论典例分析分析从已知条件和已知不等式入手，推出所要证明的结论.题型一综合法的应用【例1】已知a＞b＞0，求证：.证明∵a＞b＞0,∴b＜,即2b＜,进而-＜-2b,∴a-+b＜a+b-2b,即0＜()2＜a-b,∴学后反思综合法从正确地选择已知真实的命题出发，依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步

4、，我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论.举一反三1.设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：.证明：∵a+b=1,当且仅当a=b=时“=”成立.题型二分析法的应用【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.试证：I2＜4S.分析将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论，宜采用分析法.证明I2=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,故要证I2＜4S,只需证a2+b2+c2+2S＜4S,即a2+b2+c

5、2＜2S（这对于保证结论成立是充分必要的）.欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca＜0,即证（a2-ab-ac）+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)＜0,只需证三括号中的式子均为负值即可,即证a2＜ab+ac,b2＜bc+ba,c2＜ca+cb,即a＜b+c,b＜a+c,c＜a+b,它们显然成立，因为三角形任一边小于其他两边之和.故I2＜4S.学后反思(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达；下一步是上一步的充分条件.2.若sinα+cosα=1,求证：sin6α

6、+cos6α=1.举一反三证明：由sinα+cosα=1sin2α+cos2α+2sinα·cosα=1sinα·cosα=0.①欲证sin6α+cos6α=1,只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1,即证sin4α+cos4α-sin2αcos2α=1,即证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0.由①式知,上式成立，故原式成立.题型三反证法的应用【例3】(14分)若a,b,c均为实数，且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证：a,b,c中至少

7、有一个大于0.分析命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句，在用直接方法很难证明时，可以采用反证法.证明假设a,b,c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,…………..2′则a+b+c≤0,…………………………………………………...4′而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.…………………………………………………………….6′∵π-3＞0,且（x-1）2+(y-1)2+(z-1)2≥0,…………………..8′∴a+b+c＞0,…………………………………

8、…………………10′这与a+b+c≤0矛盾.…………