专题1.8 极值点偏移第六招——极值点偏移终极套路-2020届高考数学压轴题讲义(解答题)（解析版）.doc

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1、值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高.下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法.★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路于是．又，设，则．因此，，．要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，所以，为上的增函数．注意到，，因此，．学&科网于是，当时，有．所以，有成立，．学&科网解法二变换函数能妙解证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实

2、根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．由，解法三构造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．[来源:Z*xx*k.Com]设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．来源：微信公众号中学数学研讨部落即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．学&科网解法四巧引变量（一）证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，解法五巧引变量（二）证法5：设，，则由得，设，则，．欲证，需证，即只需证明，即，设，，故在，因此，命题得证．学&科网★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，求证：.欲证：，结合的单调性，即证：等价于证明

3、：[来源:学

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8、K]令，构造函数，求导由单调性易得原不等式成立，略.法二：接后续解:由得：构造函数，求导由单调性易得在恒成立，[来源:Z§xx§k.Com]又因为，故成立.法三：接④后续解：视为主元，设则在上单调递增，故，再结合，故成立.法四：构造函数，学&科网则，从而在上单调递增，故，即对恒成立，从而，则，由，且在单调递增，学科#网故，即，从而成立.学&科网【招式演练】★已知函数有两个不同的零点．求的最值；证明：．【答案】（1），无最小值（2）见解析【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不

9、等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.★已知函数，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）【答案】（1）见解析（2）见解析（2）∵，[来源:Zxxk.Com]∴，当时，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减．不

10、妨设，且，要证，需证，即证，又，所以只需证，即证：当时，．学&科网设，[来源:学#科#网Z#X#X#K]则，∴在上单调递减，又，故，原不等式成立．学科*网★已知函数的图象的一条切线为轴.（1）求实数的值；（2）令，若存在不相等的两个实数满足，求证：.[来源:Z_xx_k.Com]【答案】（1）（2）见解析当时，，记，记函数的导函数为，则，故在上单调递增，所以，所以，不妨设，则，而，，有单调性知，即.★已知函数且函数图象上点处的切线斜率为.（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；（2）对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切

11、线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在令，构造函数，则，则时，恒成立，故在上单调递增从而得出不存在试题解析：函数的定义域为，且，又，整理得.学科@网（1）.1）当时，易知，时，故在上单调递增，在上单调递减.2）当地，令，解得或，则①当，即时，在上恒成立，则在上递增.[来源:Zxxk.Com]当时，在及上单调递增：在上单调递减.当时，在上递增.当时，在及上单调递增；在上递减.点睛：对于导数问题，

12、做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响，可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型，要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论.★已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）设的两个极值点为，证明.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根.学&科网转化为，函数与函数的图象在上有两个不同交点又，即时，，时，，所以在上单调增，在上单调减，从而.又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，所以由的图象，要想函数与函数的图象在上有

13、两个不同交点，只需，即（2）由（1）可知分别是方程的两个根，即，，设，作差得，，即.原不等式等价于令，则，，[来源:Z&xx&k.Com]设，，，∴函数在上单调递增