备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷08 不等式的应用（解析版）.docx

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1、专题08不等式应用不等式知识点总结1、几个重要不等式①,（当且仅当时取号）.变形公式：②（基本不等式）,（当且仅当时取到等号）.变形公式：用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）（当且仅当时取到等号）.④（当且仅当时取到等号）.⑤（当且仅当时取到等号）.⑥（当仅当a=b时取等号）（当仅当a=b时取等号）⑦其中规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧⑨绝对值三角不等式2、几个著名不等式①平均不等式：,（当且仅当时取号）.（即调和平均几何平均算术平均平方平均）.变形

2、公式：②幂平均不等式：③二维形式的三角不等式：④二维形式的柯西不等式当且仅当时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：⑥一般形式的柯西不等式：⑦向量形式的柯西不等式：设是两个向量，则当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设为两组实数.是的任一排列，则（反序和乱序和顺序和）当且仅当或时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数,对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.3、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、

3、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如②将分子或分母放大（缩小），如等.4、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.5、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.6、不等式的解法：先移项通分标准化，则（时同理）规律：把分式不等式等

4、价转化为整式不等式求解.7、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.8、指数不等式的解法：⑴当时,⑵当时,规律：根据指数函数的性质转化.9、对数不等式的解法⑴当时,⑵当时,规律：根据对数函数的性质转化.10、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：⑵平方法：⑶同解变形法，其同解定理有：①②③规律：关键是去掉绝对值的符号.11、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.12、含参数的不等式的解法解形如且含参数

5、的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论与0的大小；⑵讨论与0的大小；⑶讨论两根的大小.13、恒成立问题⑴不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑵不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当时②当时⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立难度：★★★☆☆建议用时：15分钟正确率：/151．（2021·全国高三开学考试（理））对任意实数，在以下命题中，正确的个数有（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则A．B．C．D．【答案】B【分析】①因为，则，根据不等式性质得，故正确；②当时，，而，故错误；③因为，所以，即，故正确；④

6、当时，，故错误；故选：B2．（2021·长沙市·湖南师大附中高三月考）下列选项中，是的必要不充分条件的是（）A．且B．且的图象不过第二象限C．且D．且在上为增函数【答案】A【分析】逐个分析每个选项中的充分必要性即可得到答案.【详解】A选项中，由不等式的性质可知：当且，则.当取时，，但不满足所以故是的必要不充分条件；B选项中，当时，函数且的图象不过第二象限，所以由成立当函数且的图象不过第二象限时，则，所以由不成立所以是的充分不必要条件；C选项中，当且，有成立.当取时，有成立，但不满足.所以是的充分不必要条件；D选项中，若且在上为增函数,则，是的充要条件

7、；故选：A.3．（2021·山东德州市·高三期末）已知，，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】已知，，且，则，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的

8、地方.4．（2021·全国高三专题练习（理））已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为（）A．B．C．－1D