第3章---矩阵特征值和特征向量.ppt

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1、第3章矩阵特征值和特征向量简介迭代法（乘幂法）乘幂法的加速反幂法1§1简介线性代数中矩阵的特征值与特征向量能反映矩阵的性态，在理论上重要。而工程技术中的许多问题，如桥梁的振动，机械的振动，建筑物的振动及飞机机翼的颤动，这些问题的求解常归结为求矩阵的特征值问题，另外一些稳定性分析问题(例如地震信号反演)也会转化为求特征值与特征向量的问题。2基本概念n阶方阵A的特征值是特征方程det(A-E)=0的根.A的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0的非零解.3即要求将行列式展开，得关于的n次多项式：n不大时，如n4解特征方程，可求出全部特征值（n3较难）当n较大（n>

2、5），计算量极具增大，且一般不可能求得准确结果，还可能出现不稳定，所以当n稍大一般根据实际问题的需要，采用相应的的数值解法。4§1乘幂法很多应用，例如谱半径、范数等计算只需求出矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。5乘幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的方法.问题：设A是单构矩阵,即A有n个线性无关的特征向量，其n个特征值为

3、12n对应的特征向量为x1,x2,…xn线性无关.求1和x1.6乘幂法的基本思想是取初始向量v(0)Rn,作迭代v(k+1)=Av(k)=Ak+1v(0),k=0,1,2,…产生迭代序列v(k).由于x

4、1,x2,…xn线性无关,从而有v(0)=a1x1+a2x2+…+anxn故有v(k)=Akv(0)=a11kx1+a22kx2+…+annkxn(3.1)71.设

5、1>2n，(3.1)式可写成若a10,则对充分大的k有因而有或取而特征向量x1v(k).乘幂法的收敛速度取决于

6、2/1

7、的大小.8求矩阵A的按模最大的特征值解取v(0)=(1,0)T,计算v(k)=Av(k-1),结果如下例1kv1(k)v2(k)v1(k)/v1(k-1)v2(k)/v2(k-1)01010.250.220.102500.0833330.410.416653

8、0.0422920.0343890.412600.4126740.0174510.0141900.412630.41263可取0.41263,x1(0.017451,0.014190)T.9说明2：而k充分大时，会随k的增大而无限增大或无限趋于0，这样上机计算时会产生溢出（上溢或下溢）的情况，为避免这种情形出现，实际计算时，每次迭代求得的向量x(k)要进行归一化（规范化）处理：取x(k)中绝对值最大的一个分量除x(k)，这样将x(k)的分量全部控制在[-1,1]中，而1是由相邻二次分量的比值所决定，因此不会受到影响。说明1：一般有10，若恰好x(0)使1为0，

9、也不影响上述法，因为实际计算中，由于有舍入误差的影响，迭代n次后所得到的向量x(k)在u1方向上的分量不会为0，因此，可得x(2)为初始向量。可继续迭代下去。10对非零向量v,用max(v)表示v的按绝对值最大的分量,称向量u=v/max(v)为向量v的规范化向量例如,设向量v=(2,1,-5,-1)T,则max(v)=-5,u=(-0.4,-0.2,1,0.2)T.可见规范化向量u总满足‖u‖=1.规范化计算公式:任取初始向量u(0)=v(0)0,则11所以其收敛速度由比值

10、2/1

11、来确定.所以因此,当k充分大时可取:1k,x1u(k).12计算流程输入A

12、，初始向量，误差限ε,最大迭代次数N置k=1，μ=0；求整数r，使得计算y=x/α，x=Ay，xr若输出λ，x，停止。否则下一步。若k

13、算得15kku(k)0123…101112107.26.5…6.0033526.0016756.000837(1,1,1)T(1,0.8,0.1)T(1,0.75,-0.111)T(1,0.730769,-0.188034)T…………………..(1,0.714405,-0.249579)T(1,0.714346,-0.249790)T(1,0.714316,-0.249895)T可取16.000837,x1(1,0.714316,-0.249895)T.实际上,A的3个特征值分别为1=6,2=3,3=