资源描述：
《几何画板在命题中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、几何画板在命题中的应用-—反思一道错误的中考数学题湖北省来凤县实验中学杨少涌编写一套严谨、科学、准确评价各个不同层次学生的数学试题,是一项艰苦细致的工作，稍有不慎就会出庇漏。.本文试剖析2012年恩施州中考数学试题中的一道错题,希望引起命题人员和试题审查人员的注意,并尝试探讨如何做到防患于未然，提出了一些自己的看法。如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF,求∠ABF的度数；（3)如果CD=15,BE=10,sinA=，求⊙O的半径．这是一道几何综合
2、题,考察的知识点较多，较好的考察了学生几何推理的能力，有一定的难度.第一问考察了切线的判定，连接OB，有圆的半径相等，结合已知条件可证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；解答过程如下:（1)证明：连接OB∵OB=OA,CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．第二问考察了等边三角形的判定与圆周角定理，连接OF,AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数.解答过程
3、如下:(2)解：连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA,∴FA=FO∵FO=AO∴△OAF是等边三角形，∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°第三问考察了三角函数以及相似三角形的性质与判定.可过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB,利用等腰三角形的三线合一性质可求出EG=BE=5,又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长,进而求出⊙O的半径.给出的标准答案如下：（3)解：过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5又Rt△ADE∽Rt△CGE∴sin∠ECG=sin∠A=，∴CE=
4、=13∴CG==12，又CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得=∴AD=•CG=4.8∴⊙O的半径为r=2AD=9。6对于本题的第三问,笔者认为此题的条件出现了错误，值得商榷.在这类问题的常规解法中,很容易联想到垂径定理，作OM⊥AB于M点，M设OA=r，由sin∠OAM=易得cos∠OAM=，在Rt△AMO中，AM=cos∠OAM•r=r由垂径定理可知AB=2AM=在Rt△ADE中,AD=，AE==由BE=AB-AE可得方程：_=10，解得r=≈7.67显然，这个结果与给出的标准答案不同，那么问题出在什么地方呢？反思这个解题思路，
5、1）在解题过程中用到了三角函数和垂径定理,利用方程思想解决问题，可见后面的这个解题过程没有错误.2)在解题过程中没有用上CD=15这个已知条件。换而言之，这个一个多余的条件。3）如果沿着这种解题思路结合已知条件继续推导下去,还可求出线段CD的长度，过程如下：MG如下图,过点C作CG⊥BE于G,由CE=CB，∴EG=BE=5∵∠DAE+∠DEA=90O∠ECG+∠CEG=90O∠DEA=∠CEG∴∠DAE=∠ECG∴CE===13，又由DE=tan∠OAM•r≈1.60,可求出CD=DE+CE≈14。60,与本题第三问给出的CD=15这个已知条件不吻合。进一步说
6、明CD=15是多余的条件。换个角度，若把CD=15作为一个已知条件，而不用BE=10这个条件，又可得到另一解答方法：设OA=r，则AD=DO=r，DE=tan∠OAM•r=r,又BC=CE=CD－DE=15－r,根据OD2+DC2=OB2+BC2列方程得：（r)2+152=r2+（15－r)2解得r=≈7。88再换个角度,本题第三小问共三个已知条件,若去掉sin∠OAM=这个条件，用剩下的两个条件能否求出圆的半径呢？答案是肯定的，因过程较繁琐，故不再赘述。由此可见，本题多给了一个条件导致出现了命题的错误。原创一定难度的几何题在所难免出现上述错误，那么如何在以后
7、的几何命题和审查过程中发现这种错误呢？笔者想到了几何画板这个软件，它可以根据已知条件准确画出相应的几何图形，并能测量出图中任意指定的线段长度和角的大小.被称为“数学实验室"。如下图，这是笔者根据sin∠OAM=与BE=10两个条件并结合本题前面给出的已知条件在几何画板中“实验”画出的图形，本图没有用上CD=10这个条件而图形已经唯一确定。说明CD=10这个条件是多余的，同时应用本软件测量功能测得半径OA≈7。67，而DC≈14。595，通过“实验”很容易发现命题的错误。如下图,这是笔者根据sin∠OAM=与CD=15两个条件并结合本题前面给出的已知条件在几何画
8、板中“实验”画出的图形,BE=10这个
