最新[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用PPT课件.ppt

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1、[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用及时回顾基础有助于提升学科综合素养。本栏目精心梳理单元主干基础知识，系统全面、层次清晰，便于快速回顾、高效理解，以达事半功倍之目的。一、变化率与导数1.函数的变化率(1)相关概念:定义实例作用平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为简记作:①平均速度;②曲线割线的斜率.刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快慢.3.函数y＝f(x)的导函数当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数,当x变化时,f′(x)是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f

2、′(x)=y′=【辨析】导数与导函数的关系(1)函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，不是变量.(2)函数的导函数：是针对某一区间内任一点x而言的.(3)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值.二、导数的计算1.基本初等函数的导数公式(1)(c)′=0，(c为常数).(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).(3)(sinx)′=cosx.(4)(cosx)′=-sinx.(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).(6)(ex)′=ex.(7)(logax)′=

3、(a>0且a≠1).(8)(lnx)′=2.导数运算法则(1)法则:①［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x).②［f(x)·g(x)］′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x).③(2)关于导数运算法则的几点认识:①牢记公式的形式［f(x)·g(x)］′≠f′(x)g′(x),避免与［f(x)+g(x)］′=f′(x)+g′(x)混淆.②若c为常数，则［c·f(x)］′=c·f′(x).3.复合函数求导(1)定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u

4、=g(x)的复合函数.记作y=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则由y=f(u)和u=g(x)复合的复合函数y=f(g(x))的导数y′=f′(u)·g′(x)三、函数的单调性与导数1.导数与函数单调性函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在这个区间内单调递减.2.讨论函数单调性应注意的问题(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)一般利用使导数等于零的点

5、来分函数的单调区间.(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和”字隔开.(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件(例如，f(x)=x3).(5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数.(6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想.(7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′(x)＞0，则

6、f(x)在该区间上仍为增函数.【辨析】函数的单调性与导数的关系若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系如下，以增函数为例来说明：(1)f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定,即f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.(2)f′(x)≠0时，f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(3)f(x)为增函数的充要条件为f′(x)≥0且f′(x)不恒为0.四、函数的极值、最值与导数1.可导函数的极值(1)定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点x都有f(x0)>f(x)(或f(x0)

7、x0)为函数的一个极大(小)值,称x0为极大(小)值点.(2)极值中的几个注意问题可导函数的极值点一定是其导数为0的点，反之，导数为0的点不一定是该函数的极值点，所以导数为0是该点为极值点的必要条件，其充分条件还需要再添加“该点两侧的导数异号”.举例如下：①导数为0的点是极值点：f(x)=x2,f′(0)=0,x=0是极小值点;②导数为0的点不是极值点：f(x)=x3,f′(0)=0,x=0不是极值点.2.函数的最大值与最小值(1)设y＝f(x)是定义在区间［a,b］上的函数，y＝f(x)在(a,b)内可导，则函数y＝f(x)在［a,b］上一定有最

8、大值与最小值，但在开区间内不一定有最大值与最小值,如函数f(x)=在(0,+∞)内连续，但没有最大值与最小值.(2)y=f