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1、高考大题专项(四)立体几何第七章2022【考情分析】从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主.简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式命题考查.着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势.转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终.【必备知识】1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线
2、同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质:要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为
3、证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,要注意应用这些轴截面.4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.5.空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可
4、以构建空间角,把角的计算归结为平面图形中的角的计算.利用空间向量解题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.突破1空间中的位置关系与表面积、体积【例题】(2020安徽高三三模)如图,边长为2的等边三角形ABC所在平面与菱形A1ACC1所在平面互相垂直,且BC∥B1C1,BC=2B1C1,A1C=AC1.(1)求证:A
5、1B1∥平面ABC;(2)求多面体ABC-A1B1C1的体积.(1)证明∵四边形A1ACC1是菱形,∴AC∥A1C1.∵AC⊂平面ABC,A1C1⊄平面ABC,∴A1C1∥平面ABC,同理得,B1C1∥平面ABC.∵A1C1,B1C1在平面A1B1C1中,且A1C1∩B1C1=C1,∴平面ABC∥平面A1B1C1.∵A1B1⊂平面A1B1C1,∴A1B1∥平面ABC.(2)解∵∠ACB与∠A1C1B1满足AC∥A1C1,BC∥B1C1,且两个角的对应边方向相同,∴∠A1C1B1=∠ACB=60°,∵A1C1=AC=2,2B1
6、C1=BC=2,则B1C1=1,解题心得处理体积问题的思路(1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高;(2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算;(3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法.对点训练如图,五边形ABSCD中,四边形ABCD为长方形,三角形SBC为边长为2的正三角形,将三角形SBC沿BC折起,使得点S在平面ABCD
7、上的射影恰好在AD上.(1)当AB=时,证明:平面SAB⊥平面SCD;(2)当AB=1时,求四棱锥S-ABCD的侧面积.(1)证明作SO⊥AD,垂足为O,依题意得SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AB,SO⊥CD,又AB⊥AD,∴AB⊥平面SAD,则AB⊥SA,AB⊥SD.∴SA⊥SD,∴SD⊥平面SAB.又SD⊂平面SCD,∴平面SAB⊥平面SCD.突破2空间角和距离题型一空间中的位置关系与异面直线所成的角【例1】在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,PA=AD=2,A
8、B=BC=1,Q为PD的中点.(1)求证:PD⊥BQ;(2)求异面直线PC与BQ所成角的余弦值.(1)证明由题意知,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,AD⊥AB,以A为原点,分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,
