最新半群与群【共享精品-】幻灯片.ppt

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1、半群与群【共享精品-】7.1半群和独异点的定义及其性质定义7.1.1给定，若⊙满足结合律，则称为半群。可见，半群就是由集合及其上定义的一个可结合的二元运算组成的代数结构。定义7.1.2定，若是半群且○有幺元或○满足结合律且拥有幺元，则称为独异点。可以看出，独异点是含有幺元的半群。因此有些著作者将独异点叫做含幺半群。有时为了强调幺元e，独异点表为。如果半群中的集合S是有限的，则称半群为有限半群，对于有限半群可以给出下面有趣定理。定理7.1.1为有限半群(x)(x∈S∧x⊙x=x)本定理告诉我们，有限半群存

2、在等幂元。定义7.1.6给定半群及非空集TS，若T对⊙封闭，则称为的子半群。类似地定义独异点的子独异点，应注意的是e∈P。定理7.1.3给定半群及任意a∈S，则<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。显然，a是<{a，a2，a3，…}，⊙>的生成元。故<{a，a2，a3，…}，⊙>是循环子半群。定理7.1.4给定可交换独异点，若P为其等幂元集合，则为子独异点。定理7.1.5设为独异点，则关于○的运算表中任两列或任两行均不相同。定理7.1.6给定独异点，对任意a，

3、b∈M且a，b均有逆元，则(1)(a-1)-1=a。(2)a○b有逆元，且(a○b)-1=b-1○a-1。7.2半群和独异点的同态与同构在本节里，将把代数结构之间的同态与同构的概念应用于半群与独异点。有些定义与性质，几乎完全就是平行地搬过来。主要内容如下：定义7.2.1给定两个半群与，则半群半群:=(f)(f∈TS∧(x)(y)(x，y∈S→f(x⊙y)=f(x)f(y))并称f为从到的半群同态映射。由定义可以知道，半群同态映射f可以不是唯一的。与前面的定义类似，根据半群同态映射f是单射(一对一)、满射、双射，把半群同态

4、映射f分别定义半群单一同态映射、半群满同态映射和半群同构映射。如果两个半群，存在一个同构映射，则称一个半群同构于另一个半群。由于代数结构之间的满同态具有保持运算的各种性质，对于半群满同态当然完全适用。下面给出一个半群同态保持等幂性的定理。定理7.2.1如果f为从到的半群同态映射，对任意a∈S且a⊙a=a，则f(a)○f(a)=f(a)。由于半群同态映射是个函数，因此可对半群同态映射进行复合运算，从而产生新的半群同态映射。请看如下定理：定理7.2.2如果g是从到的半群同态映射，h是从到的半群同态映射，则hog是从到

5、>的半群同态映射。定义7.2.2若g是从到的半群同态映射，则称g为半群自同态映射；若g是从到的半群同构映射，则称g为半群自同构映射。定理7.2.3给定半群，如果A={g

6、g为到的半群自同态映射}且o是函数复合运算，则为半群。由于恒等映射i是复合运算o的幺元，因此可得下面定理：定理7.2.4给定半群，若B={h

7、h为到的半群自同构映射}，o为函数复合运算，则是独异点。定理7.2.5给定半群，又是从S到S的所有函数在复合运算o下构成的函数半群，则存在

8、从到的半群同态映射g，或者说半群同态于。上面介绍半群同态及有关定理。下面接着来讨论独异点之间的同态及其有关定理。定义7.2.3给定独异点和，则:=(g)(g∈TM∧(x)(y)(x，y∈M→g(x⊙y)=g(x)○g(y))∧g(eM)=eT并称g为从到的独异点同态映射。注意，独异点同态区别半群同态就在于保持幺元，即g(eM)=eT。因此，半群同态未必是独异点同态，反之都真。对于独异点满同态、独异点单同态、独异点同构、以及独异点满同态保持运算

9、性质等，这里也一并略去了。下面给出一个有关同构的定理以结束本节。定理7.2.6给定独异点，则存在TMM，使。本定理表明，一个独异点可与复合运算下的函数独异点同构。7.3积半群把积代数方法应用于特殊一类代数结构：半群，便产生积半群。定义7.3.1给定两个半群和。称为和的积半群，其中S×T为集合S与T的笛卡儿积，运算定义如下：