最新实二次型教学讲义PPT课件.ppt

《最新实二次型教学讲义PPT课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、实二次型不是是不是是是是+…………………………………(1)+…………………………………(2)记系数矩阵则(2)=xTAx——二次型的矩阵形式.定义6.1.2关系式二、线性变换与矩阵合同(1)称为由变量到变量的一个线性变(替)换.矩阵形式：其中，C称为线性变换矩阵.当

2、C

3、≠0时，称(1)式为非退化的线性变换或可逆线性变换.若C是正交矩阵，则称(1)式为正交变换.1.线性变换在线性替换x=Cy下，二次型是否仍化为二次型？BB是否对称？=B=yTBy是关于y1,y2,…,yn的二次型.对应矩阵B=CTAC定理6.1.1二次型f=xTAx经过线性替换x=Cy后，得到以B=CTAC为矩阵的二次型.如

4、：二次型f=2x1x2-4x1x3+10x2x3，在线性替换B=CTAC化为二次型：f(y1,y2,y3)=2y12-2y22+20y32矩阵的又一关系——合同若C可逆2.矩阵的合同定义6.1.3设矩阵A，B是两个n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得CTAC=B，则称矩阵A与B合同，记作显然，二次型f=xTAx在非退化线性替换x=Cy下，得到二次型：yTBy因B=CTAC，故矩阵的合同具有性质：(反身性)(对称性)(传递性)证(3)合同矩阵还具有下列重要性质：(1)若则r(A)=r(B).r(A)=r(B)合同矩阵的秩相等.(2)若则AT=A的充要条件是BT=B.由AT=A=CTAC=B由BT

5、=BCTATC=CTACAT=A(3)若则当A，B可逆时，有(4)若则若A与B正交相似,P是正交矩阵，即PPT=I.矩阵的三大关系：等价、相似、合同.它们之间的关系？A与B等价A经过初等变换化为B.A与B相似A与B合同相似等价反之不然.合同等价正交相似合同三、二次型的标准形定义：若二次型xTAx经过非退化线性替换，化为一个只含平方项的二次型，称此为二次型xTAx的标准形.二次型的标准形的一般形式为：=yTΛy二次型的标准形与对角阵一一对应1.配方法此方法主要处理变量较少的情况，方法简单，其中包括两种类型：含平方项、不含平方项.一个二次型化为标准形的三种方法：配方法、初等变换法、正交替换法.定

6、理6.1.3即任意一个对称矩阵必合同于一个对角形矩阵.定理6.1.2任一实二次型，都可以经过非退化线性替换化为标准形.对任一对称矩阵A，存在可逆矩阵C，使得[见P166定理6.1.1]例1将下列二次型化为标准形.即标准形：例1等价于：已知对称阵存在可逆矩阵C，使得非退化线性替换：x=Cy例2将下列二次型化为标准形.解：非退化线性替换为：x=C1yf=y=C2zx=C1C2z可逆的解：A所对应的二次型为二次型x=C1y即C=C1C2=只对A作相应行变换对整个矩阵作列变换2.初等变换法由于n阶实对称矩阵A必合同于对角形矩阵Λ，即存在可逆矩阵C，使得设C=P1P2…Ps，Pi(i=1,2,…,s)

7、为初等矩阵，则……(1)……(2)比较两式0-22-21002-52010-2202-51-2201000100-30110ΛC令原二次型的标准形：解00000-1-1-11矩阵C是正交矩阵的线性替换x=Cy，称为正交替换.定理6.1.4证因实对称矩阵必与对角矩阵正交相似，3.正交替(变)换法CTC=I即存在正交矩阵P，使得正交替换x=Py二次型xTAx解：二次型的矩阵为例1用正交替换法将二次型化标准形，并写出所作的正交替换.特征向量：单位化：正交单位化：正交矩阵：正交替换x=Py:二次型的标准形：四、二次型的规范形定义6.1.4如果一个二次型的标准形中平方项的系数只是1,-1或0则称这样的

8、标准形为二次型的规范形.二次型的规范形的形状为任一二次型都可经过非退化线性替换化为规范形(1)式(r是二次型的秩).且规范形是由二次型本身唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.(惯性定理)如：是二次型的规范形.定理6.1.5定义6.1.5在二次型的规范形中，正项的个数p称为该二次型的正惯性指数；负项的个数r-p称为该二次型的负惯性指数；它们的差:p-(r-p)称为二次型的符号差.……(1)例如一个四元二次型的规范形为则该二次型的秩为4，正惯性指数为2，负惯性指数为2，符号差为0.例1将二次型化为规范形.解：令即规范形：该二次型的秩r=3，正惯性指数p=2,r-p=1，符号差为1.定义6.2

9、.1设实二次型第二节正定二次型与正定矩阵一、二次型的分类A为n阶实对称矩阵.若对于任意的非零向量x，都有则称二次型是正定二次型，矩阵A为正定矩阵.(负定)(负定)若对于任意的向量x，都有且存在使得则称二次型是半正定二次型，矩阵A为半正定矩阵.(半负定)(半负定)正定、负定、半正定、半负定的二次型统称为有定二次型，矩阵为有定矩阵；否则，称为不定的.正定半正定半负定不定的存在非零向量(0,0,1)T，使得f(0,