最新新新概率5.1教学讲义PPT课件.ppt

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1、新新概率5.1②若X1,X2,…Xn…为随机变量，随着n+,的分布将会如何？所谓“稳定性”,粗略地说，也就是考察是否存在常数a，使从分析的角度讲，这两个问题一个是概率的极限问题，一个是分布的极限问题，相应的一系列结论分别被称为“大数定律”、“中心极限定理”，统称极限定理。①若X1,X2,…Xn…为随机变量，而Yn=,那么随着n+,Yn的稳定性如何？两个问题21、问题的引出在n次独立重复实验中，事件A发生的频率是否稳定于A的概率？分析：nA表示n次实验中A发生的次数，则为n次实验中A发生的频率,即fn(A).贝努利实验的描述：在每次实

2、验中，P(A)=p;各次实验相互独立。一、大数定律3若X1，X2，…Xn…为随机变量序列，记若存在一个数序列a1,a2,…an…，使得对任意>0有则称{Xn}服从大数定律.大数定律3）由于贝努利定理说明了大数次重复试验下所呈现的客观规律，所以此定理称为贝努利大数定律。贝努利大数定律又可描述为：相互独立且服从(0,1)分布的随机变量序列{Xn}服从大数定律。71）车比雪夫(tchebysheff大数定律)定理设{Xn}为相互独立的随机变量组成的序列，且Xn（n=1，2，…）的方差有公共上界，则>0，有2、几个常用的大数定律证:由契比

3、雪夫不等式:……独立、方差有公共上界的{Xn}服从大数定律.82）辛钦（Khintchine）大数定律设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）=（i=1,2,…），则对>0，有3）贝努利（Bernoulli）大数定律上述的贝努利大数定理又可简述为：在独立重复实验中，事件A在各次实验中发生的次数{Xi}服从大数定律。在n次独立重复试验中，事件A发生了nA次，且P(A)=p,则对任意正数ε有：9注：③此外还有若干其它的大数定律，如马尔可夫大数定律等。②辛钦大数定律乃车贝雪夫大数定律之特殊情形；而贝

4、努利大数定律又可看成是辛钦大数定律之推论。④大数定理讨论了独立随机变量Xi的平均值序列依概率收敛的问题，下面讨论Xi的和序列①辛钦大数定律的意义：—X在n次独立试验中n个观察值的算术平均值而=E(X)，所以由辛钦大数定律得:X的算术平均值依概率收敛于它的数学期望,X的算术平均值稳定于它的数学期望.10复习：1、正态分布的背景:当连续型随机变量X可看作是许多细小的、独立的因素的总结果，且在正常情况下，每个细小因素都不起特别作用，则一般情况下X～N（,2）。2、若随机变量序列{Xi}，i=1,2,…,Xi～N（,2）,则问题:设X

5、1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有E（Xi）=,D(Xi)=2（i=1,2,…），则可看作是许多细小的、独立的因素的总结果，且n充分大时，每个Xi都不起特别作用，那么??111、同分布中心极限定理(林得伯格-列维Lindeberg-levy)证明：（超出）。设X1,X2,…,Xn,…独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）=2≠0，则意义：无论各R.v.Xn的分布为何,都有(当n→∞时)~N(0,1)~进而？注意条件：独立同分布…~二、中心极限定理12当n→∞我们将有2、德莫佛—拉普拉斯(DeMoivre-Lapla

6、ce)定理设nA~B(n,p)，n=1,2,...，则对任意实数x有特别,若Xi~B(1,p),则E（Xi）=p,D(Xi)=p(1-p)（i=1,2,…）由林得贝尔格-列维中心极限定理,~N(0,1),即13说明：由此定理得：若X~B（n，p），则当n很大时有（2）对任意区间[a，b]有（1）对任意实数x，有？？近似地还记得泊松定理是怎么说的吗？泊松定理：X~（）(近似地)3）若记Xi为A在第i次发生的次数,则有则德莫佛—拉普拉斯定理讨论的是Xi的和序列143、几点说明若{Xn}不同分布，但相互独立，则在一定条件下仍有——{Xn}

7、服从中心极限定理正是依据中心极限定理，才反映出正态分布在实际中的广泛适应性。见P97例2之后。15进而可求P{aa}等等。归纳前面所述，有~N(0,1)三、极限定理的初步应用若XB(n,p),则n很大时,近似有若R.v.序列{Xn}独立同分布,且E(Xn)=,D(Xn)=2(n=1,2,…),则近似有16例1一加法器同时收到20个噪声电压Vi（i=1,2,…,20）,设它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）上的均匀分布。记V=，求P{V>105}的近似值。分析：1、Vi是独立同分布的，且分布已知，

8、=？,2=？；2、要求P{V>105}，但只是近似值；——利用中心极限定理恰好可以得知的近似分布进而N(0,1)详解略。17例2每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中