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1、欧美韩国国货护肤彩妆精油药妆礼品..997.5EulerandHamiltonPathKonigsberg(哥尼斯堡)七桥问题问题：能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次回到原地。8/3/20212DerenChen,ZhejiangUniv.Euler(欧拉)1736年对这个问题，给出了否定的回答。将河岸和小岛作为图的顶点，七座桥为边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路的问题：[定义]欧拉道路（回路）：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），称包含Ｅ中所有边的简单道路为欧拉道路/EulerPath/E道路。包含Ｅ中所有边
2、的简单回路为欧拉回路/EulerCircuit/E回路。8/3/20213DerenChen,ZhejiangUniv.若Ｇ2＝（Ｖ2，Ｅ2）是Ｇ1的关于Ｇ的余图，Ｅ2＝Ｅ－Ｅ1，但Ｖ1∩Ｖ2≠φ，否则Ｇ不连通，设Ｃ∈Ｖ1∩Ｖ2，从Ｃ出发，用上面方法作Ｇ2的简单回路ｐ2回到Ｃ,这能做到。因为作好ｐ1后，留下顶点的次都是偶次。若ｐ1∪ｐ2经过所有边，则欧拉道路是ｐ1走到Ｃ时，先把ｐ2走完，最后走完ｐ1的余下道路。若ｐ1∪ｐ2仍未经过所有边，将ｐ1∪ｐ2视为ｐ1重复上述过程，由于Ｅ边有限，故存在欧拉道路。8/3/20217
3、DerenChen,ZhejiangUniv.例1：（1）顶点的次：A(3),B(2),C(4),D(2),E(6),F(2),G(6),H(2),I(4),J(3）。其中奇次顶点A，J（2）从A出发，走一条道路（A,C,E,A,B,C,D,E,G,J）8/3/20218DerenChen,ZhejiangUniv.（3）Ｇ1＝（Ｖ1，Ｅ1）Ｖ1＝{A，B，C，D，E，G，J}Ｅ1＝{（A，B），（B，C），（A，C），（C，D），（C，E），（D，E），（E，G），（G，J）}Ｇ2＝（Ｖ2，Ｅ2）Ｅ2＝{（E，F），
4、（F，G），（E，J），（G，H），（G，I），（I，J），（H，I）}Ｖ2＝{E，F，G，H，I，J}E∈（Ｖ1Ｖ2）8/3/20219DerenChen,ZhejiangUniv.（4）从E出发回到E的回路（E，F，G，I，J，E），加入到P1中Ｐ1＝（A，C，E，F，G，I，J，E，A，B，C，D，G，J）（5）还有未经过的边，重复上述过程，从G出发，（G，H，I，G），再加入即得欧拉道路。8/3/202110DerenChen,ZhejiangUniv.说明：哥尼斯堡七桥问题，由于四个顶点都是齐次的，不可能
5、有欧拉道路。应用与推广：（1）一笔画问题；（2）如果齐次顶点个数为2K个，此问题是K笔画问题。8/3/202111DerenChen,ZhejiangUniv.例８个顶点均为3次，至少要４笔。8/3/202112DerenChen,ZhejiangUniv.[推论]（欧拉定理）：没有次为０的孤立顶点的无向图存在欧拉回路的充要条件是：(1)图是连通的；(2)图中没有奇次顶点。8/3/202113DerenChen,ZhejiangUniv.定理2（有向图的欧拉定理）：不含出/入次为０的孤立顶点的有向图具有欧拉道路的充要条
6、件是：(1）弱连通；(2)除了可能有２个顶点，一个入次比出次大１，一个出次比入次大１，其余顶点出次等于入次。推论不含出/入次为０的孤立顶点的有向图具有欧拉回路的充要条件是：（1）弱连通；（2）所有顶点出次等于入次。8/3/202114DerenChen,ZhejiangUniv.Hamilton(哈密顿)道路问题：１８５９年发明的一种游戏。在一个实心的正十二面体，20个顶点标上世界著名大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市一次，最后回到原地。这就是“绕行世界”问题。即找一条经过所有顶点（城市）的基本道路（回
7、路）。8/3/202115DerenChen,ZhejiangUniv.[定义]哈密顿道路/回路：Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），G中经过Ｖ中所有顶点的基本道路称为哈密顿道路/HamiltonPath，简称Ｈ道路。Ｇ＝（Ｖ，Ｅ），G中经过Ｖ中所有顶点的基本回路称为哈密顿回路/HamiltonCircuit，简称Ｈ回路。8/3/202116DerenChen,ZhejiangUniv.图Ａ每个顶点都是奇次的，不存在欧拉道路，但有Ｈ道路。图Ｂ存在欧拉道路，不存在Ｈ道路。8/3/202117DerenChen,ZhejiangUniv.[定
8、理3]：设Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）是ｎ个顶点的简单图，如果任何一对顶点的次之和≥ｎ－１，则Ｇ中一定有Ｈ道路（n>=2）。证明：1、Ｇ一定连通，否则Ｇ分为二个不连通的分图Ｇ1，Ｇ2，其中Ｇ1有ｎ1个顶点，Ｇ2有ｎ2个顶点，Ｇ1中每个顶点次≤ｎ1－１，Ｇ2中每个顶点次≤ｎ2－１，从Ｇ1中取一个顶点，Ｇ2中取一个顶点，这一对顶点之和≤ｎ1－１＋ｎ
