最新离散数学第5章教学讲义ppt课件.ppt

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1、离散数学第5章这部分内容属于近世代数的范畴,近世代数是研究具有运算的集合,它第一次揭示了数学系统的多变性与丰富性。代数结构理论可用于计算机算法的复杂性分析,研究抽象数据结构的性质及操作,同时也是程序设计语言的理论基础。我们将介绍代数系统的最基本概念和最基本理论,以及几类常用的代数系统,它们是:半群,幺半群,群,环,域,格和布尔代数。本课程在第五,六章中介绍代数系统的内容。第五章代数系统的一般性质第一节二元运算及性质但减法,除法不是。但除法不是。例1、(1)上的加法,乘法都是二元运算,(2)上的加法,乘法,减法都是二元运算,上求相反数的运算是一元运算。(3)非零实数集上

2、的乘法和除法都是二元运算。但加法,减法不是,而求倒数是一元运算。(4)表示所有阶实矩阵的集合则矩阵的加法和乘法都是二元运算。,都是二元运算,(5)集合的幂集上的而绝对补集(为全集)是一元运算。(6)所有命题公式的集合上的都是二元运算,而否定为一元运算。(7)表示集合上的所有函数的集合,函数的合成运算是上的二元运算。3、一元,二元运算表。当为有穷集时,都可以用运算表给出。上的一元和二元运算例2、(1)设,给出上的运算绝对和对称差的运算表。补集解:,“”为一元运算,“”为二元运算,其运算表如下:例2、(2)设,定义二元运算如下:上的两个求运算和的运算表。解:分别是,的和与

3、积除以5的余数,运算表如下:二、有关运算律。设是上的二元运算,1、若,则称在(或称满足交换律)上可交换。2、若,则称在(或称满足结合律)上可结合。二、有关运算律。设是上的二元运算,3、若则称运算对是可分配的。(或称对满足分配律)(2)矩阵的加法和乘法在上是可结合的,加法可交换,但乘法不可交换,乘法对加法是可分配的。例3、(1)普通的加法和乘法在上都是可结合的,且是可交换的,乘法对加法是可分配的。(3)在幂集上可结合,可交换,但是相对补不可结合,不可交换,和是互相可分配的。(4)在全体命题公式集合上可结合,可交换,和是相互可分配的。三、一些特殊元素。设为上的二元运算,1

4、、幺元:若,对则称,为运算的幺元。注:(1)若幺元存在必唯一。(2)若只有或只有,则,称为左幺元或右幺元。在上,矩阵加法的幺元是阶0矩阵,矩阵乘法的幺元是阶单位矩阵。在幂集上,运算的幺元是,运算的幺元是全集。例如:在上,加法的幺元是0,乘法的幺元是1。在算没有幺元,只有右幺元0上的减法运例4、在(非零实数集)上定义运算如下:则中的任何元素都是右幺元,但没有左幺元,使,从而没有幺元。2、零元:若,对,,则称为运算的零元。注:(1)若零元存在必唯一。(2)若只有,或只有,则分别称为左零元或右零元。如例4的任何元素都是左零元,从而也没有零元。但没有右零元,例如:在上加法没有

5、零元,乘法的零元是0。在上矩阵加法没有零元,矩阵乘法的零元是阶0矩阵。在幂集上,运算的零元是,运算的零元是。3、逆元:设为上的二元运算,为运算的幺元,若对,存在,使,则称为的逆元。注:(1)逆元是针对某个元素而言的(可能有些元素有逆元,有些没有)(2)若二元运算满足结合律且存在则必唯一。的逆元3、逆元:设为上的二元运算,为运算的幺元,若对,存在,使,则称为的逆元。注:(3)若只有或只有,则称为左逆元或右逆元。例如:普通加法运算在上有幺元0,仅在上任意元素有逆元,满足在上只有0有逆元0,而其它的自然数就没有逆元。在上矩阵的乘法只有可逆矩阵存在逆元。幂集上关于运算有幺元,

6、但除了外,其余元素都没有逆元。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。(1)解:加法,乘法都不是二元运算。(2)解:加法不是二元运算,乘法是二元运算。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。(3)解:加法,乘法都是二元运算。(4)解:加法不是二元运算,乘法是二元运算。例5、判断普通的加法和乘法运算在下列集合中是否二元运算。(5)解:加法不是二元运算,乘法是二元运算。例6、在实数集上定义运算如下:(1)是上的二元运算吗?解:因,是二元运算。(2)在上满足交换律,结合律吗?解:因,满足交换律,,满足结合律。例6、在实数集上定义运算如下:(3

7、)关于有幺元,零元吗?解:因对,,故0为幺元,因,故为零元。例6、在实数集上定义运算如下:(4)关于每个元素有逆元吗?解:,有且时,无逆元。故时,,例7、设,二元运算和定义,问运算如下表和是否可交换的;是否有零元;是否有幺元;如果有幺元,指出哪些元素有逆元;逆元是什么?(1)没有零元,可交换,解:运算是幺元,都有逆元,且,互为逆元。(2)不可交换,解:运算是左零元,是幺元,只有有逆元,,由于,故是的左逆元,的右逆元,是(2)解:但它们的逆元都不存在。四、其它一些运算律和特殊元素。(了解)1、设和都是上的可交换的二元运算,若,则称和满足吸收律。四、其它

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