落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色.doc

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1、落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色———-———评2013江西理科班数学试题第21题江西省九江第一中学段训明“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色"，这一句素称千古绝唱。青天碧水，天水相接，上下浑然一色；彩霞自上而下,孤鹜自下而上,相映增辉,构成一幅色彩明丽而又上下浑成的绝妙好图.2013江西理科数学卷第21题为我们展示了这样一幅美丽画卷.它把数与形巧妙地结合起来，远近、上下、立体式地展现出一幅深秋江天图;它寓情于景,使整题变得意境深远.题：已知函数，为常数且。(1）证明:函数的图像关于直线对称；（2)若满足，但，则称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围；

2、（3）对于（2）中的和,设为函数的最大值点，，，。记的面积为，讨论的单调性。本题的点睛之笔在于函数的构造和问题(2）的设置.所构造的函数，(为常数且)并不算复杂,为最简单的线性函数，但由于字母系数和绝对值的参与，让数学对象变得不那么单一,因此需要照顾的面就大了，弄得不好就会顾此失彼。问题情景“,但”涉及到函数迭代和不动点这些一般高中学生不太常见的数学概念，因此会让多数人觉得既离自己很近又与自己那么遥远。下面重点分析（2)。1.解题思路探析由于处于复合函数中的内层,它既是一个函数值又是一个自变量，这种双重身份预示着问题的复杂性.由知，为得到的取值，需考虑与的大小,另一

3、方面为得到，又必须比较与的大小.因此，对和逐级讨论是不可避免的.首先，注意到，，从而；另一方面由知,当时，，从而。因此,当时，由,得（满足）或有无数个值与题意不符；当时，由，得,因为当时，，与矛盾.故时,没有两个二阶周期点，所以一定有.其次，当时,令，得或，因此就有下面四种情况（如图1）：(1）当时,有，由,得，但,即非二阶周期点，舍去；（2)当时，有，由,得，经经验不满足,故成立；（3）当时，有,由得，此时,故，舍去；（4）当时，有，由,得，经经验不满足，故成立；综上所述，当时，只有两个二阶周期点，故的取值范围是.2。命题背景揭示本题难点在于如何破解方程。受知识结

4、构及应变能力所限，考生很难找到有效的替代办法.联想到新课改之前的教材有关“反函数"的内容中有这么一段描述“由,解得,；若,是函数，则，叫做函数,的反函数.”在这里我想说的是，旧教材中的这段话不仅给出了如何判断一个函数是否存在反函数，而且给出了求反函数的一般步骤。值得说明的是本题所给出的函数尽管没有反函数，但这并不妨碍使用这种转换或表达方式，即由方程得.虽然在这里我们不好说是的反函数，但从方程得角度来说方程对应的曲线还是存在的。基于以上的考虑，由方程得，这样就可以在同一个直角坐标系中画出方程对应曲线及其关于直线对称的曲线。此时不难发现满足方程得的值,即方程得交点的横坐

5、标，而要求,即两曲线的交点不能在直线上。不难发现，如图2，当时，两曲线只有一个交点，即原点，显然不满足条件；当时，两曲线有无数个交点，即,显然也不满足条件；当时,两曲线有四个交点,且有两个交点在直线上，另两个交点不在直线上，满足条件，所以由得，由得3。结束语应该说,今年的第21题与往年相比更贴近学生,且2013江西卷整卷难度值不大,对于尖子考生来说应该是有充足的时间来面对最后一题的,而事实情况并非如此.当然，原因有多种：有无功而返的、有鞭长莫及的,更多的应该是因考试策略所致，而选择主动放弃的。无容置疑，本题的出发点和立足点都很有创意。问题1的设置不是简单意义下宽进严

6、出式的送分，更多的则是希望能让学生尽早发现问题背景，进一步保证了整题的连续性;问题2采用了学生不太常见的叙述方式,呈现了一个又很常见的问题情景———函数与方程,目的是考查学生在面对复杂背景下处理问题的能力，对学生的数形结合、分类讨论和等价转换等数学思想的应用的要求是很高的.值得指出的是：首先，函数表达式不直接给出分段函数而是采用绝对值式“打包处理"是有深意的.一方面，从问题1的求解不难发现，保留绝对值比去掉绝对值要好得多，目的是应用绝对值，间接地考查了学生对绝对值的认识和理解；另一方面，面对问题2中的方程，你又必须去努力去掉这个绝对值.先后的两种不同处理，是需要有较

7、深厚的专业功底和灵活的应变能力的.其次，引入字母系数,让学生能动态地面对问题情景不仅是高考的基本要求，更是本题的立足点,是整个题目的精华部分.可见，字母系数和绝对值在本题中相映增辉、浑然一色构成了滕王阁前王渤式的佳境，真是难得一见的好题,是传世之作的佳品。需要说明的一点是：个人认为本题美中不足的是本题的第3问的设置。理由是:(1）第3问与前面的问题不太协调,有喧宾夺主之嫌,也许是为了考导数而为之；（2）基于考试的时间有限,加上问题2的难度值很高，学生做到问题2已经是强弩之末，很难有时间和精力来完成它；（3）关键是本题设置了多个问题之后,就降低了本题的价值。显然3