第22章一元二次方程全章教学案-.doc

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1、2。1一元二次方程【重点难点】1．经历抽象一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，理解一元二次方程及相互概念。2．经历方程的解的探索过程,增进对方程解的认识，发展估算能力及意识，能列出方程来刻画实际问题。【预习导引】从前有一天，一个醉汉拿着一根竹竿进屋横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，这时一道的另一个醉汉教他沿着门的两个对角线斜着拿竿，这个醉汉一试不多不少刚好把竹竿拿进去了,你知道竹竿有多长吗?请你根据这一问题列出方程,并把自己所列的方程与以前学习过的一元一次方程，二元一次方程比较有什么不同之处，并与其它的同伴交流自己的看法。点拔:本例中，设

2、竹竿长为x尺，则门框宽为(x－4)尺,门框高为（x－2）尺，门框的对角线长为x尺，根据“宽2+高2=对角线2”可列方程,（x－4）2+(x－2）2=x2,即x2－12x+20=0，这个方程与以前学习过的方程相比较有（1)只含一个未知数，（2)未知数的最高次数为2，这两个特点，从本例中逐步体会一元二次方程的概念，本例实则是一个笑话，实际上不必这么麻烦，只须将竹竿垂直于门所在的平面就很方便地进去了,但我们还应在谈笑之后，明白其中的数学知识.【知识分析】1．一元二次方程的引入在前面，我们已经学习过通过列一元一次方程,二元一次方程组来解决实际问题,但有些问题，如课本中的“花边有多宽”，“五个连续

3、整数，前三个数平方和等于后面两个数的平方和”,“梯子的底端滑动了多少米"等所列出的方程：①（8－2x）(5－2x）=18,②x2+（x+1）+(x+2）2=(x+3)2+（x+4)2，③（x+6）2+72=102，它们是一元一次方程吗？是二元一次方程吗？它们又有什么特点呢？把上述三个方程化简：①2x2－13x+11=0,②x2－7x+10=0,③x2+12x－15=0,这三个方程都能化成ax2+bx+c=0的形式,并且只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，这就是我们要学习的一元二次方程.2．一元二次方程的概念方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。

4、下列方程是一元二次方程吗？为什么？①2x2－3x+1=0②x2+y+2=3x③④(2x+1)2－（4x+1)（x+1)=2任何一个关于x的一元二次方程都可化为ax2+bx+c=0的形式（a，b，c为常数，且a≠0).因此我们把这种形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2，bx,c分别叫二次项，一次项，常数项。a，b分别为二次项系数和一次系数。如4x2－3x－2=0中,4x2是二次项，－3x是一次项，－2为常数项，而4,－3分别是二次项、一次项的系数。一元二次方程的项以及系数是针对方程的一般形式而言的，因此,我们在确定一元二次方程的项或系数时必须先把方程化为一般形式,然后再确定，另外，这类

5、问题的答案并不唯一,如方程2x2－4x－6=0,x2－2x－3=0都是同一个方程的一般形式，因而依据不同形式确定的项及系数也是不同的。3．一元二次方程的解能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法：将未知数的值代入方程的左，右两边，分别计算结果,再比较左右两边是否相等，如果左右两边相等，则未知数的值是原方程的解,否则就不是原方程的解。判断方程后面的数是否是方程的解：(1）2x2－3x+1=0（，1)(2）x2－=0()(3）(2x－1）2=3()（(1)x=,x=1是此方程的解.（2)x=是此

6、方程的解,x=1不是此方程的解.（3）x=,x=均是此方程的解。)4．求实际问题中一元二次方程的近似解。对于实际问题列出的一元二次方程，我们可先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体计算进行两边“夹逼”，逐步获得其近似解。【例题讲解】例1．判断下列式子是不是关于x的一元二次方程:下列关于x的方程:(1）ax2+bx+c=0,(2）k2+5k+b=0，（3)；（4)（m2+3）x2+－2=0,（5）x2+是一元二次方程的是（只填序号).解析所谓关于“x"的一元二次方程，就是方程中只含有x为未知数,而其它的字母均理解为已知数.（1)不一定是一次方程，因为当a=0时,它不是一元二次方程；（

7、2)中不含未知数x；（3)中x的最高指数为3，故（3）也不是一元二次方程；(4）中含一个未知数x，且其最高次数为2，其系数（m2+2)>0，故它是关于x的一元二次方程；(5）是分式方程，故它也不是一元二次方程.解:应填(4)思路探究判断一个方程是否一元二次方程，看方程是否满足以下三个条件:（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数为2。三个条件缺一不可才是一元二次方程。例2．求出下列方程二次项，一次项及常数项: