函数经典例题剖析.doc

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1、个人收集整理勿做商业用途函数经典例题剖析（文科)考点一：函数的性质与图象对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(－x）＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x）＝f（x),f(－x）＝－f（x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f（x）的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f（x＋a）＝f（a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映．例1设a＞0，求函数（x∈(0，＋∞））的单调区间．分析：欲

2、求函数的单调区间，则须解不等式(递增）及（递减）。解:．当a＞0，x＞0时f¢（x）＞0Ûx2＋(2a－4)x＋a2＞0，f¢（x）＜0Ûx2＋(2a－4）x＋a2＜0．（ⅰ)当a＞1时，对所有x＞0，有x2＋(2a－4)x＋a2＞0，即f¢(x）＞0,此时f(x)在（0,＋∞)内单调递增．（ⅱ）当a＝1时，对x≠1,有x2＋（2a－4)x＋a2＞0,即f¢(x）＞0，此时f（x)在(0，1）内单调递增，在(1，＋∞）内单调递增．又知函数f(x）在x＝1处连续,因此，函数f(x)在（0,＋∞）内单调递增．（ⅲ)当0＜a＜1时，

3、令f¢(x)＞0，即x2＋(2a－4）x＋a2＞0，解得，或．因此，函数f（x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增．令f¢（x)＜0，即x2＋（2a－4）x＋a2＜0,解得个人收集整理勿做商业用途．因此，函数f（x)在区间内单调递减．点评：本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力．例2已知，函数。设，记曲线在点处的切线为。（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）设与轴交点为.证明:①；②若,则（Ⅰ）分析：欲求切线l的方程，则须求出它的斜率，根据切线斜率的几何意义便不难发现,问题归结为求曲线在点的一阶导数值。解

4、：求的导数:，由此得切线的方程：。（Ⅱ）分析：①要求的变化范围，则须找到使产生变化的原因，显然,变化的根本原因可归结为的变化，因此，找到与的等量关系式,就成;②欲比较与的大小关系，判断它们的差的符号即可.证：依题意，切线方程中令y＝0，。①由。②。个人收集整理勿做商业用途点评：本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。例3、函数y＝1－的图象是（)解析一：该题考查对f（x)＝图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y＝的图形变形到y＝，即向右平移一个单位，再变形到y＝－即将前面图形沿x

5、轴翻转，再变形到y＝－＋1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法,取x＝0，此时y＝1,取x＝2，此时y＝0.因此选B.答案：B点评:1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型.考点二:二次函数二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延.作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;作为抛物线，可以联系其

6、它平面曲线讨论相互之间关系。这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。　同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础。因此,从这个意义上说，有关二次函数的问题在高考中频繁出现，也就不足为奇了.学习二次函数，可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征.从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法.例４　设二次函数，方程的两个根满足

7、.当时，证明.分析：在已知方程个人收集整理勿做商业用途两根的情况下,根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式。证明:由题意可知。，∴，∴当时，。又，∴，综上可知，所给问题获证.点评:本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式。例5已知二次函数，设方程的两个实数根为和.（1）如果，设函数的对称轴为，求证：;（2)如果，，求的取值范围。分析：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化.解:设，则的二根为和.（1）由及，可得，即，即两式相加得,所以,；个人收集整

8、理勿做商业用途（2）由，可得.又，所以同号.∴，等价于或,即或解之得或。点评:在处理一元二次方程根的问题时,考察该方程所对应的二次函数图像特征的充要条件是解决问题的关键。考点三:抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数