最新第5章---两点边值问题求解方法教学讲义PPT课件.ppt

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1、第5章---两点边值问题求解方法第二部分边值问题求解方法第5章两点边值问题求解方法2021/8/3打靶法的几何解释：5.2打靶法打靶：求解初值问题2021/8/35.1.1割线法以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解：根据初值条件知：假设是α的线性函数，可取α为：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法2021/8/3割线法的几何解释：5.2打靶法线性近似：按割线求根2021/8/35.1.2牛顿法求解非线性方程（组）：在已知初值α0的处Taylor展开：线性近似：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法2021/8/3差分法求偏

2、导数或采用其它数值微分方法。f可微时解偏导数微分方程微分方程对α求偏导：5.2打靶法初值问题，可解！（与割线法等价）割线代替切线2021/8/3每一步迭代求解初值问题其中：解得：得到的终端值和对α的偏导数：5.2打靶法2021/8/3作业题5：用牛顿打靶法求解两点边值问题迭代初始条件取。5.2打靶法2021/8/35.3有限差分法以二阶系统为例，边值问题：有限差分近似将区间等分为N个子区间将在xi处Taylor展开：5.3有限差分法用差分近似代替微分，将微分方程化为代数方程求解2021/8/3若取x=xi+1=x+ih：忽略

3、二阶以上部分，得一阶导数的前向差分近似：若取x=xi-1=x-ih：忽略二阶以上部分，得一阶导数的后向差分近似：5.3有限差分法一阶精度一阶精度2021/8/3xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略三阶以上部分，得一阶导数的中心差分近似：xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相加，忽略四阶以上部分，得二阶导数中心差分近似：三阶导数的中心差分近似？5.3有限差分法二阶精度二阶精度2021/8/3xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分：xi+2和xi-2在xi处的Taylor展开

4、相减，忽略五阶以上部分：三阶导数的中心差分近似：四阶导数的中心差分近似：5.3有限差分法二阶精度二阶精度2021/8/3有限差分法解微分方程两点边值问题微分方程离散化，将区间等分为N个子区间：在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：5.3有限差分法2021/8/3有限差分法解微分方程两点边值问题的几何解释5.3有限差分法离散点：微分用有限差分近似2021/8/3例5.1：用有限差分法求解两点边值问题取离散化区间h=0.1，N=10。5.3有限差分法2021/8/3线性方程组：即：5.3有限差分法2021/8/35.4有限元

5、法以二阶系统为例，考虑边值问题：5.4.1投影类方法的基本思想以一简单函数近似y(x)，给出连续近似解，例如：一般形式：，已知，待定。残差：某种意义上使残差最小，则得到某种准则下最佳的近似解。5.4有限元法2021/8/3区间残差平方和最小：最小二乘法若干特定点处残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。5.4有限元法计算复杂，不常用为权函数2021/8/3例5.2：考虑两点边值问题解析解为：试用配点法和加强残差法求解该问题近似解。5.4有限元法2021/8/35.4有限元法解析解2021/8/3设近似解

6、的形式：基函数的选择示例：为满足边值条件要求取二次函数以及三次项N=2（1）配点法近似解的残差令N个点处残差为零求解系数，如5.4有限元法线性函数不满足配点？2021/8/3（2）加权残差法要求：Galerkin法，取即：5.4有限元法2021/8/35.4有限元法配点法、Galerkin加权残差法与精确解的比较2021/8/35.4.2有限元法的基本思想将区域（区间）划分为小的单元，在单元上表示近似解以及求残差加权积分。第i个单元，Ei，，在每个单元上解用多项式近似；在每个单元上计算加权残差；根据各单元满足的方程确定多项式

7、近似解的系数。5.4有限元法局部近似，分段光滑可以用简单的低阶近似2021/8/35.4.3有限元法：线性元为例解在每个单元上采用x的线性函数近似表示。5.4有限元法2021/8/3线性函数具有2个自由度：由两个端点的函数值确定；N个线性单元，近似连续函数，N+1个自由度：由N+1个节点的函数值唯一确定。设近似解表达为：由可知5.4有限元法线性函数2021/8/3近似解可以用节点基函数表示为：节点基函数在节点j处：由于近似表达式中取值的任意性，可知：5.4有限元法节点基函数的特性2021/8/3对于线性元，节点基函数在每个单

8、元内是线性函数：5.4有限元法第i个节点基函数的几何表示2021/8/3节点函数值的求解：加权残差Galerkin法近似解的节点基函数表示：Galerkin法求，即解方程组：其中：（对于示例二阶系统）即：分部积分：5.4有限元法2021/8/3在第i个单元内，Ei：5.4有限元法单元内为连