函数极限复习.docx

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1、求第一类函数的极限例讨论下列函数当x,x,x时的极限：（1）（2）（3）1xf(x)121f(x)x12（x）2（0h(x)xx）x10分析：先作出函数的图像，根据函数极限的定义，观察、分析函数值的变化趋势来讨论所给函数的极限．解：作出所给各函数的图像由图像可知：（1）limf(x)不存在，limf(x)1,limf(x)不存在xxx（2）limg(x)0,limg(x)0,limg(x)0xxx（3）limh(x)1,limh(x)2,limg(x)不存在．xxx说明：函数f(x)当x时的极限与数列an当n时的极限不同，前者包括当x时的极限，当x时的极限，只有

2、limf(x)limf(x)时，limf(x)的极xxx限才存在．n1x由于lim111，容易错误地认为lim11．事实上，22nxxxxlim11，lim11不存在，所以lim11的极不存在．1x2x2x2求函数的左右极限例讨论下列函数在点x1处的左极限、右极限以及函数在x1处的极限：（1）f(x)x1(x1)log4x(x1)（2）g(x)x1(x1)x2(x1)（3）h(x)1(x1)x1(x1)2(x1)（4）(x)(x1)(x23x2)x2分析：先作出各个函数的图像，通过观察、分析函数的图像，函数的变化趋势，根据函数的极限的定义，求出函数在点x1处的左、

3、右极限以及在x1处的极限．解：作出所给各函数的图像．由图像可知：（1）lim()0,lim()0，因此lim()0．x1fxx1fxx1fx（2）lim()0,lim()1，因此lim()不存在．gxgxgxx1x1x1（3）lim()不存在，lim()0，因此lim()不存在．x1hxhxx1hxx1（4）(x)(x1)(x23x2)(x1)2(x2)．x2由函数极限的定义有：lim(x)lim(x)limh(x)0．x1x1x1说明：利用定义求函数在一点处的左、右极限是最常用的方法，分段函数在分点处的左、右极限与分点附近两侧的解析式有关，不能代错，如（1）中l

4、imf(x)limlog4x．x1x1判断函数的极限是否存在例判断函数f(x)x21x在x=1处的极限是否存在．1分析：函数表达式中含有绝对值符号，因此要分类讨论，即分别求点x1处的左极限和右极限．解：limx21limx21lim(x1)2；x1x1x11xx1limx21x21lim(x1)2.x1lim1x1x1xx1因为limx21limx21，所以函数f(x)x21在x=1处的极限不存在．x1x1x1x1x1说明：本题表明了函数在一点处的极限与函数在这点的左极限、右极限的关系，即limf(x)alimf(x)limf(x)a.xx0xx0xx0