初三数学有关圆的经典例题.docx

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1、Xupeisen110初三数学初三数学有关圆的经典例题1.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，求∠BAC的度数。分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E，∵AB3，AC2，∴AD3，AE222∵OAAD31，∴cos∠OAD，OA2AE2cos∠OAEOA2∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，同理可知

2、∠OAD=30°，∠OAE=45°，∴∠BAC=15°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2.如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D，如果点D既是AB的中点，又是AC边的中点，（1）求证：△ABC是直角三角形；(2)求AD2的值BC分析：(1)由D为AB的中点，联想到垂径定理的推论，连结OD交AB于F，则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；1Xupeisen110初三数学（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF∽△DAE，可得AD2DF·DE，而DF1BC，DE

3、2R，故AD2可求2BC解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E∵D为AB的中点，∴AB⊥DE，AFFB又∵AD=DC∴DF∥BC，DF1BC2∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。（2）解：连结AE∵DE是⊙O的直径∴∠DAE=90°而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA∴ADDF，即AD2DE·DFDEAD1BC∵DE2R，DF2∴AD2AD2BC·R，故RBC例3.如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（）A.AB2CDB.AB2CDC.AB2CDD.AB与2CD的大小关系不确定分析：要比较AB与2CD的大小，可以用下面两种思路进行：(1)把AB的一半作出来

4、，然后比较1AB与CD的大小。2(2)把2CD作出来，变成一段弧，然后比较2CD与AB的大小。解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，2Xupeisen110初三数学则AFFB1AB12ABAEEB21AB∵AB2CD，∴AECD2∵AFFB，∴AFFB在△AFB中，有AF+FB>AB∴2AFAB，∴AFAB，∴AFCD，∴2AF2CD2∴AB2CD∴选A。解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE则DECD1CE2在△CDE中，有CD+DE>CE∴2CD>CE∵AB=2CD，∴AB>CE∴ABCE，∴AB2CD∴选A。例4.如图，四边形ABC

5、D内接于半径为2的⊙O，已知ABBC1AD，41求CD的长。分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BD∵ABBC1AD14∴ABBC，AD4，∴∠ADB∠EDB3Xupeisen110初三数学∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4∵四边形ABCD内接于

6、⊙O，∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA，∴BCCEADAE·AEBC(ABBE)111BC∴CEAD42AD∴CDDECE41722例5.如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧AC上一点，DE⊥AB于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？(2)当点D在劣弧AC的什么位置时，才能使AD2DE·DF，为什么？分析：由题意容易想到作辅助线OC，（1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。(2)要

7、使AD2DE·DF，即使ADDF，也就是使△DAF∽△DEADEAD解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切，下面对满足条件PC=PF进行证明，连结OC，则∠OCA=∠FAH，∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH，∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90°即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。4Xupeisen110初三数学(2)当点D是劣弧AC的中点时，AD2DE·DF，理由如下：连结AE，∵ADCD，∴∠DAF∠DEA又∵∠ADF∠EDA，∴△DAF∽△DEA，∴ADDFDEAD即AD2=DE·DF点拨：本

8、题是一道条件探索问题，第