初中几何旋转典型例题归类.docx

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1、初中几何旋转典型例题归类1、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长？解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形DCBA是正方形所以∠CBA＝90°所以∠ABP＋∠CBP＝90°所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为PA=a，PB=2a，PC=3a所以

2、PQ＝2√2a，CQ＝a所以CP^2＝9a^2，PQ^2＋CQ^2＝8a^2＋a^2＝9a^2所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°所以∠BPA＝∠BQC＝135°作BM⊥PQ则△BPM是等腰直角三角形所以PM＝BM＝PB/√2＝2a/√2＝√2a所以根据勾股定理得：AB^2＝AM^2＋BM^2＝(√2a＋a)^2＋(√2a)^2＝[5＋2√2]a^2所以AB＝[√(5＋2√2)]a三个已知距离为1、2、3的问题：2、在正

3、方形ABCD中有一点P，PA=2，PB=4，角APB=135度，求PC的长？1解：将△ABP旋转到△BCM，连接PM显然BP＝BM＝4，CM＝PA＝2，∠ABP＝∠CBM，∠BMC＝∠APB＝135°所以∠PBM＝∠ABC＝90°所以△PBM是等腰直角三角形所以PM＝√2*PB＝4√2，∠PBM＝45°所以∠PMC＝135°－45°＝90°所以三角形是直角三角形根据勾股定理得：PC^2＝PM^2＋CM^2＝36所以PC＝63、有正方形ABCD,E是其内一点，且E到B,C,D距离之比为3：2：1，

4、求角CED=？解：将△CDE绕C点旋转90°使CD与CB重合，E点旋转后到F点，连接EF因为△CDE≌△CBF所以DE＝BF，CE＝CF，∠DCE＝∠BCF，∠CED＝∠CFB因为四边形ABCD是正方形所以∠BCD＝90°所以∠DCE＋∠BCE＝90°所以∠BCF＋∠BCE＝90°即∠ECF＝90°所以△CEF是等腰直角三角形所以EF＝√2*CE，∠CFE＝45因为BE∶CE∶DE＝3∶2∶1所以可设BE＝3K，CE＝2K，DE＝K所以EF＝2√2K，BF＝K2所以BE^2＝9K^2，EF^2＋

5、BF^2＝8K^2＋K^2＝9K^2所以BE^2＝EF^2＋BF^2所以△BEF是直角三角形且∠BFD＝90°所以∠CFB＝90°＋45°＝135°所以∠CED＝∠CFB＝135°这是一道典型的利用旋转变换进行解答的几何问题，与等边三角形中此类问题是同种问题4、如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB的度数。解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠

6、BQC因为四边形DCBA是正方形所以∠CBA＝90°所以∠ABP＋∠CBP＝90°所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45因为PA=1，PB=2，PC=3所以PQ＝2√2，CQ＝1所以CP^2＝9，PQ^2＋CQ^2＝8＋K＝9所以CP^2＝PQ^2＋CQ^2所以△CPQ是直角三角形且∠CQA＝90°所以∠BQC＝90°＋45°＝135°所以∠BPA＝∠BQC＝135°5、p为正方形ABCD内任意一点。PA=1.PB=5.P

7、C=7.则正方形的边长为？3解：将△BAP绕B点旋转90°使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAP≌△BCQ所以AP＝CQ，BP＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∠BPA＝∠BQC因为四边形DCBA是正方形所以∠CBA＝90°所以∠ABP＋∠CBP＝90°所以∠CBQ＋∠CBP＝90°即∠PBQ＝90°所以△BPQ是等腰直角三角形所以PQ＝√2*BP，∠BQP＝45°因为PA=1，PB=5，PC=7所以PQ＝5√2，CQ＝1所以CP^2＝49，PQ^2=50,CQ^2＝1所以PQ^2＝

8、PC^2＋CQ^2所以△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝90°所以∠PBQ＋∠PCQ＝180°所以P、B、Q、C四点共圆所以∠PCB＝∠BQP＝45°所以CP是∠BCD的平分线因为四边形ABCD是正方形所以CA平分∠BCD所以A、P、C在同一直线上所以AC＝PA＋PC＝8所以AB＝AC/√2＝4√2即正方形的边长是4√24