2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：17利用导数证明不等式.docx

《2021高三数学北师大版(理)一轮课后限时集训：17利用导数证明不等式.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、利用导数证明不等式建议用时：45分钟1．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.e[解](1)f′(x)＝x－a(x＞0)．①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；ee②若a＞0，则当0＜x＜a时，f′(x)＞0，当x＞a时，f′(x)＜0，故f(x)在0，e上单调递增，在ea，＋∞上单调递减．aex(2)证明：法一：因为x＞0，所以只需证f(x)≤x－2e，当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)

2、上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e.ex记g(x)＝x－2e(x＞0)，x－1ex则g′(x)＝x2，所以当0＜x＜1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝－e.ex综上，当x＞0时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤x－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0.法二：由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，xe1设函数g(x)＝lnx－x＋2，则g′(x)＝x－1.所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，故g(x)在(0,1)

3、上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝1.设函数exh(x)＝ex，则h′(x)＝exx－1ex2.所以当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，故h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.综上，当x＞0时，g(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.12．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝x－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点1，2，证明：fx1－f

4、x2＜a－2.xx12x－x1ax2－ax＋1[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－x2－1＋x＝－x2.(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝a－a2－4a＋a2－42或x＝2.a－a2－4a＋a2－4时，f′(x)＜0；当x∈0，2∪2，＋∞当x∈a－2－4，a＋a2－4时，f′(x)＞0.a22所以f(x)在－a2－4＋2－4，＋∞上单调递减，在0，a，aa22a－a2－4a＋a2－4上单调递增．2，2(2)证明：由(1)

5、知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.fx1－fx2由于x1－x2fx1－fx2所以x1－x21lnx1－lnx2lnx1－lnx2－2lnx2＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a1，xx21x－xx－x1212x2－x2＜a－2等价于12＋2lnx2＜0.2－xx1设函数g(x)＝x－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.所以1－x2＋2lnx2＜，即fx1－fx2＜a

6、－2.x02x－x123．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b.(1)当b＝0时，f(x)－g(x)＞0恒成立，求整数a的最大值；(2)求证：ln2＋(ln3－ln2)2＋(ln4－ln3)3＋⋯＋[ln(n＋1)－lnn]n＜ee－1(n∈N＋)．[解](1)现证明ex≥x＋1，设F(x)＝ex－x－1，则F′(x)＝ex－1，当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞0，当x∈(－∞，0)时，F′(x)＜0，所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F(x)min＝F(0)＝0，即F(x)≥0恒成立，即ex≥x＋1.同理

7、可得ln(x＋2)≤x＋1，因为两个等号不能同时成立，所以ex＞ln(x＋2)，当a≤2时，ln(x＋a)≤ln(x＋2)＜ex，所以当a≤2时，f(x)－g(x)＞0恒成立．当a≥3时，e0＜lna，即ex－ln(x＋a)＞0不恒成立．故整数a的最大值为2.－n＋1(2)证明：由(1)知ex＞ln(x＋2)，令x＝，n－n＋1－n＋1则en＞lnn＋2，即e－n＋1＞ln－n＋1＋2n＝[ln(n＋1)－lnn]n，n所以e0＋e－1＋e－2＋⋯＋e－n＋1＞ln2＋(ln3－ln2)2＋(ln4－ln3)3＋⋯＋[ln(n＋1)－lnn]n，11－en1

8、e又因为e0＋e－1＋e－2＋⋯＋e－n＋1＝＜＝，