对数平均数的不等式链的几何解释及应用.docx

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1、精品文档对数平均数的不等式链的几何解释及应用中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出，其压轴题的理论背景是：设a,bababab0,ab,则lnalnbab，其中被称之为对数平均数.2lnalnb童永奇老师构造函数，借助于导数证明了对数平均数的上述不等式，难度较大，为此，我作了深入地探讨，给出对数平均数的不等关系的几何解释，形象直观，易于理解.1对数平均数的不等关系的几何解释反比例函数fx1x0的图象，如图所示，APBCTUKV，MNCDx轴，xAa,0,Pa,1,Bb,0,Qb,1,Tab,1,作fx在点Kab,2处的切线分别与abab2abA

2、P,BQ交于E,F，根据左图可知，因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABFE=S矩形ABNM，b12(b-a),所以òaxdx=lnb-lna>a+b①S曲边梯形AUTP=ab1又òaxdx=lnab-lna，=1(lnb-lna)=1S曲边梯形ABQP，221骣1÷1b-a11)S=?+(S，÷ab-a=?梯形AUTP?÷梯形ABCD?22桫abab2a。1欢迎下载精品文档根据右图可知，S曲边梯形AUTP

3、naa+b>b-a>ab>21>a(b>a>0).④2lnb-lna1+ab2不等式链的应用对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．2.1b>b-a>a(a>0)的应用lnb-lna例1（2014年陕西）设函数f(x)ln(1x)，g

4、(x)xf(x)，其中f(x)是f(x)的导函数．（1）（2）（略）（3）设nN，比较g1g2gn与nfn的大小，并加以证明．解析（3）因为gxx，1x所以g1g2gn12n111，23nn23n11而nfnnlnn1，因此，比较g1g2gn与nfn的大小，即只需比较111与lnn1的大小即可．23n1根据b>a>0时，b>b-a，即1(b-a)

5、n1，2n1故g1g2gnnfn.评注本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握．当b>a>0时，b-a>a，即lnb-lna<1(b-a),令a=n,b=n+1,lnb-lnaa1,可得：ln(n+1)11+L+1则ln(n+1)-lnn<<1++.n23n例2（2012年天津）已知函数fxxlnxaa0的最小值为0．n2（1）（2）（略）（3）证明：ln2n12n

6、N*.2ii11解析（3）易求a2222ln2n1．1，待证不等式等价于572n31根据b>a>0时，b>b-a，即1(b-a)b-a(b>a>0)的应用2lnb-lna。3欢迎

7、下载精品文档例3设数列an的通项an1，其前n项的和为Sn，证明：Snlnn1．nn11解析根据b>a>0时，22b-a，即lnb-lna>2b-a)，a+b>(2lnb-lnaa2+b2令b=n+1,a=n,则ln(n+1)-lnn>2=2222n+()2n+2n+1n+1>2>an，易证Snlnn1．2n2+2n+22.3a+b>b-a(b>a>0)的应用2lnb-lna例4设数列an的通项an1111，证明：anln2n1．23n解析根据b>a>0时，a+b>b-a，即lnb-lna>2(b-a)，2lnb-lnaa+b令b=2n+