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《高中数学二项式定理题型总结.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、二项式定理知识点归纳1．二项式定理及其特例：（1）(ab)nCn0anCn1anbLCnranrbrLCnnbn(nN)，（2）(1x)n1Cn1xLCnrxrLxn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cnranrbr(r0，1，2，n)3．常数项、有理项和系数最大的项：r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对4二项式系数表（杨辉三角）(ab)n展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3⋯时，二项式系数表，表中每行两端都是11以，除外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性
2、质：(ab)n展开式的二项式系数是Cn0，Cn1，Cn2，⋯，Cnn．Cnr可以看成以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,L,n}，例当n6时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnnm）直线rn是图象的对称轴n2n1n1（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项Cn2取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn2，Cn2取得最大值（3）各二项式系数和：∵(1x)n1Cn1xLCnrxrLxn，令x1，则2nCn0Cn1Cn2LCnrLCnn题型讲解例1如果在（x+1）n的
3、展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项24x解：展开式中前三项的系数分别为nn(n1)nn(n1)，得n=8设第r+1项为有理项，1，，8，由题意得2×=1+2281163rr·x4Tr1=C8·2r，则r是4的倍数，所以r=0，4，8，有理项为T1=x4，T5=35x，T9=18256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例2求式子（｜x｜+1－2）3的展开式中的常数项
4、x
5、解法一：（｜x｜+1－2）3=（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）得到常数项的情况有：①三个括号
6、
7、x
8、
9、x
10、
11、x
12、
13、x
14、中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，∴常数项为（－2）
15、x
16、3+（－12）=－20解法二：（
17、x
18、+1－2）3=（
19、x
20、－1）6设第r+1项为常数项，则Tr1=C6r·（－1）r·（1）r·
21、x
22、6r=
23、x
24、
25、x
26、
27、x
28、（－1）6·C6r·
29、x
30、62r，得6－2r=0，r=3∴T3+1=（－1）3·C63=－20例34－4）4的展开式中的常数项；⑴求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；⑵求（x+⑶求（1+x）3+（1+x）4
31、+⋯+（1+x）50的展开式中x3的系数x解：⑴原式1x44－1=14⑵（x+4=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展开式中x4的系数为（－1）4C6－4）1xx4=(x24x4)4=(2x)8，展开式中的常数项为C8424·（－1）4=1120⑶方法一：原式x4x4(1x)3[(1x)481](1x)51(1x)3展开式中x3的系数为C4方法二：原展开式中x3的系数为=1=x51(1x)C33+C34+C35+⋯+C350=C44+C34+⋯+C350=C45+C35+⋯+C350=⋯=C451点评：把所给式子转化为二项展开式形
32、式是解决此类问题的关键19例4求x2展开式中x9的系数2xrrr3解：Trrx29r1r182r1xrCr1x183r令1213r9,则r93＝－1C92xC9x292183,故x的系数为:C922点评：①Cnranrbr是abn展开式中的第r1项，r0,1,2,n②注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，13第4项的二项式系数是C93，第4项x9的系数为C93，二者并不相同2例5求3x32100展开所得x的多项式中，系数为有理数的项数解：Tr1C100r3x32rC100rx100r3100rr100r,rZ，r为3和2的倍数，即22
33、3依题意：100r0r100，rN，r0,6,,96，构成首项为23为6的倍数，又0，公差为6，末项为96的等差数列，由960(n1)6得n17，故系数为有理数的项共有17项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例6求x23x25展开式中x的系数x23x55x25解法一：2x1C50x5C51x4LC54xC55C50x5C51x42LC54x24C5525故展开式中含x的项为C54xC5525C55C54x24240x，故展开式中x的系数为x23x25x225240，解法二：3xTr1C5rx25r3xr0r5,rN，要
34、使x指数为1，只有r1才有可能，即2T2C51x2243x15xx842x664x448x224，故x的系数为1524240，解法三：x23x25x23x2x23x2x23x2x23x2x23x2，由多项式
