知识讲解-二项式定理(理)(基础)110.docx

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1、______________________________________________________________________________________________________________二项式定理【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n,都有：(ab)nCn0anCn1an1bCnranrbrCnnbn(nN*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(ab)n的二项

2、展开式。rnrr做二项展开式的通项，用T表示，即通项为展开式的第rnrr式中的Cnabr+1项：Tr1Cnab，r+1其中的系数Cnr（r=0，1，2，⋯，n）叫做二项式系数，2．二项式(a+b)n的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为Crn，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；3.两个常用的二项展开式：①(ab)nCn0anCn1an1bL(1)rCnranrbrL(1)nC

3、nnbn(nN*)②(1x)n1Cn1xCn2x2LCnrxrLxn要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：Tr1Cnran-rbr（r0,1,2,,n）公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是Cnr；②字母b的次数和组合数的上标相同；③a与b的次数之和为n。要点诠释：（1）二项式(a+b)n的二项展开式的第r+1项Cnranrbr和(b+a)n的二项展开式的第r+1项Cnrbnrar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项是Tr

4、1(1)rCnranrbr（只需把－b看成b代入二项式定理）。要点三：二项式系数及其性质1.杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》如下表，可直观地看出二项式系数。精品资料______________________________________________________________________________________________________________(ab)n展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,⋯时,如下表所示:(ab)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11(ab)2⋯⋯⋯

5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯121(ab)3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1331(ab)4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14641(ab)5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15101051(ab)6⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1615201561⋯⋯⋯⋯⋯⋯上表叫做二项式系数的表,也称杨辉三角(在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角),反映了二项式系数的性质。表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解(a+b)n的展开式中anrbr的系数Cnr的意义：为了得到(a+b)n展开式中anrbr的系数，可以考虑在(ab)(ab)L(ab)这n个括号中取r个b，则这

6、种取法种数为Cnr，即为anrbr的14444244443n系数．2.(ab)n的展开式中各项的二项式系数Cn0、Cn1、Cn2⋯Cnn具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即CnrCnnr；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值.其中，n当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数Cn2最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项n1n1式系数Cn2，Cn2相等，且最大.③各二项式系数之和为2n，即Cn0Cn1Cn2Cn3Cn4LCnn2n；④二项展开式中各奇数项的二项式

7、系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即Cn0Cn2Cn4Cn1Cn3Cn52n1。要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别：二项展开式中，第r+1项Cnranrbr的二项式系数是组合数Cnr，展开式的系数是单项式Cnranrbr的系数，二者不一定相等。如(a－b)n的二项展开式的通项是Tr1(1)rCnranrbr，在这里对应项的二项式系数都是Cnr，但项的系数是(1)rCnr，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．3.(abc)n展开式中apbqcr的系数求法（p,q,r0的整数且pqrn）(abc)n[(ab)c]nCnr(ab)nrcrCnrCnq

8、ranrqbqcr如：(