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1、复变函数论.§1复数1、复数域2、复平面3、复数的模与辐角4、复数的乘幂与方根5、公轭复数§3复变函数1、复变函数的概念4、复球面与无穷远点3、复变函数的连续性2、复变函数的极限6、复数在集合上的应用§2复平面上的点集1、平面点集的基本概念2、区域与曲线第一章复数与复变函数第一章复数与复变函数§1复数。1、复数域：复数z1=x1+iy1和z2=x2+iy2相等是指它们的实部与虚部分别相等。如果Imz=0，则z可以看成一个实数；如果Imz≠0，那么z称为一个虚数；如果Imz≠0，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。x和y分别称为z的实
2、部和虚部，分别记作x=Rez,y=Imz。是虚数单位;每个复数z具有x+iy的形状，其中x和y∈R，注意1：那么z的全部辐角为注意2：当z=0时，辐角不确定，没有辐角。辐角主值的定义：，例1求及解:,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成.(1.6),特别当r=1时有,这种复数称为单位复数.利用Euler公式(1.7)并且容易验证,我们利用(1.7)把(1.6)写成(1.9)我们分别称(1.6)、(1.9)为非零复数的三角形式和指数形式.利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设z1、z2是两个非零复数，则有
3、则有即，其中后一个式子应理解为集合相等。同理，对除法，有即，其后一个式子也应理解为集合相等。4、复数的乘幂与方根4．1乘幂,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。当r=1时，则得DeMoivre公式：4．2开方，故，。，则，设，因为，，从而设个值就是以原点为中心，为半径圆的内接正n边形的n个顶点。注意：从几何上看,例2：求解：5、公轭复数的公轭复数：。注：，例3.证明证明：6、复数在集合上的应用6.1曲线的复方程1)、连接z1和z2两点的线段:过z1和z2两点的直线:注:Z1、z2和z3共线(t
4、为非零实数)2)、以z0为心R为半径的圆:或者3)、实轴虚轴4)、射线6.2用复数证明几何问题例4.为等边三角形证明:为等边即,,平方得:§2复平面上的点集1、平面点集的基本概念1.1原始概念---------距离定义1:设有点Z1和Z2，则为点Z1和Z2的距离,记为1.2基础概念---------领域-领域,记为为半径的圆即为点Z0的定义2:以Z0为心，1.3点与点集关系概念定义3:设有点,点集若含有的无穷多点，则为的聚点注:聚点的其他三个等价定义的孤立点2)若，但不是的聚点,即不含的点,则为定义4:设有点,点集1)若,则为的内
5、点2)若,则为的外点3)若既有中点也有非的点,则为的边界点注:的边界,记为全部边界点的集合,称为2、区域与曲线2.1区域定义5:如果，使得，则称E是有界集，否则称E是无界集。定义6:若E的所有点为内点的,则E为开集.若E的所有聚点均属于E,则E为闭集.定义7:点集E，如果满足：（1）是开集；（2）E中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于E。(或连通)则称E是一个区域。区域E加上其边界C称为闭域。记为。例2.2曲线,如果设已给和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点t
6、1及t2，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。定理1(若尔当定理)：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域，否则称
7、D是多连通区域。2.3几个重要的定理定理2:有界无穷点集必有聚点定理3:(闭集套定理)定理4:有界闭域存在有限覆盖§3复变函数1、复变函数的概念例：的值域。为函数的定义域，对与E，w的全体所成集M称1.1定义：设E为一复数集，若对E内每一个复数z，有惟一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数，若对E内每一个复数z，。E为函数有几个或无穷个多个复数w与之对应，则称在E上确定了一个多值函数单值函数多值函数注1：若无声明，一般均指单值函数2：常写成1)若，则2)若，则1.2几何表示例1：将写成z的一元函数。解：因为所以例2：
8、映射，试问它把z平面上的下列曲线分别映为w平面的何种曲线1)以原点为心，2为半径，在第一象限里的圆弧2)倾角的直线（可以看成是两条射线以及）3)双曲线解：设则从而1）为：，变成，即的上半圆2）：，两射线变成3）由，有，故，从而变成直线u=42、复变
