积分变换第2讲.ppt

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1、§3单位脉冲函数2、单位脉冲函数1、单位脉动函数de(t)1/eeOt在物理和工程技术中,有许多物理现象具有脉冲性质.例如断电以后的突然来电等;在力学中,机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.物理学家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技术中被广泛地采用.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)不连续,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求

2、导数的.如果我们形式地计算这个导数,得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为此,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷，点源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.广义函数，没有普通意义下的函数值.2.1单位脉冲函数的定义定义对于任何一个无穷次可微的函数f(t),称满足2.2单位脉冲函数的性质(1)积分性质证明：一些工程书中，δ-函数常用一个长度等于1的有向线段来表示.tOd(t)1(2)筛选性质对于无穷次可微的函数f(t

3、)，有证明：这一性质在近代物理和工程技术中有着较广泛的应用.工程上将以下两个式子作为单位脉冲函数的理解和定义.一般地例1求单位脉冲函数的傅氏变换.解：可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对；同理,d(t-t0)和亦构成了一个傅氏变换对.这是因为需要指出的是，此处的广义积分是按(1)式计算的，不是普通意义下的积分值，我们称这种傅氏变换为广义的傅氏变换.根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首先应绝对可积，即实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不满足这一点.如及多项式等都不满足绝对可积的条件!如此一来，

4、较强的条件使得傅立叶变换的应用受到限制.为克服这一缺陷，我们把单位脉冲函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换中，得到它们的广义傅氏变换.实际运算时，我们通常用傅氏逆变换来推证.比较典型的有：u(t)（单位阶跃函数）,sint,cost同前面一样,此时仍然可以这样说:象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.例2称为单位跃阶函数.证：首先注意，这里的变换显然指的是广义变换.我们用考察逆变换的方法证明.由于所以当t<0时,有同理当t>0时，有综上所述，根据(*),有证毕!解：由定义，有例3求的傅氏逆变换.特别地故此,有或者写成例4求正弦函数f(t)=sin

5、w0t的傅氏变换.解：同理，可得即注：我们介绍δ-函数，主要是提供一个应用工具，而不去追求数学上的严谨性.§4傅立叶变换的性质为了能更好的用傅立叶变换这一工具解决各类实际问题，它的一些基本性质必须熟练掌握.为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.1、线性性质FF则F逆变换也具有类似的性质，请写出相应的性质.2、位移性质证明：根据定义，得显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！同理可得推论提示：利用欧拉公式和位移性质容易证明.3、微分性质证明：根

6、据定义，得如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当

7、t

8、+时,f(t)0,则类似地可推得象函数的导数公式：一般地，如果在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当

9、t

10、+时,有则例如，设思考题：则其付氏变换为的付氏变换为因而的付氏变换为4、积分性质证明：例1求解微分积分方程其中

11、根据定义，有特别地，若f(t)偶函数，则6、相似性质特别地，若----翻转性质.7、帕塞瓦尔等式证明：于是称为帕塞瓦尔等式由此巴斯瓦等式又表明：傅立叶变换保持能量不变定义：称为f(t)的能量谱密度等式最后简单提一下，我们可借助能量积分计算某些广义积分，其原理是巴斯瓦等式：若等式一端的计算比另一端的计算容易的话，则可以通过计算该端的积分得到另一端的积分。首先查表得：本讲小结1、掌握单位脉冲函数的定义2、了解单位脉冲函数的性质3、熟悉傅氏变换的性质4、会求常见函数的傅氏变换和逆变换