2021_2022学年新教材高中数学第4章对数运算与对数函数3.1对数函数的概念课件北师大版必修第一册.ppt

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1、3.1对数函数的概念课标定位素养阐释1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.3.体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.自主预习·新知导学一、对数函数的概念【问题思考】1.你能把指数式y=ax(a>0,且a≠1)化成对数式吗?在这个对数式中,x是y的函数吗?提示:根据对数的定义,得x=logay(a>0,且a≠1).因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数.2.填空:(1)对数函数的相关概念:①定义:给定正数a,且a≠1,指

2、数函数y=ax是定义在R上、值域为(0,+∞)的单调函数.所以对于每一个正数y,都存在唯一确定的实数x,使得y=ax.由函数的定义,x就是y的函数,称为以a为底的对数函数,记作x=logay.习惯上,将自变量写成x,函数值写成y,因此,一般将对数函数写成y=logax(a>0,且a≠1),其中a称为底数.②定义域是(0,+∞);③图象过定点(1,0).(2)两个特殊的对数函数:①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作y=lgx;②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作y=lnx.3.做一做:下列函数是对数函数的是()A.y=log4xB.

3、y=ln(x+1)C.y=logxeD.y=logxx解析:由对数函数的定义知y=log4x是对数函数,其余三个均不符合对数函数的特征.答案:A二、反函数【问题思考】1.函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域和值域与函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域和值域有什么关系?提示:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的定义域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的值域是指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域.2.填一填:指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数x=logay

4、(a>0,且a≠1)刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;在对数函数x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).像这样的两个函数叫作互为反函数.3.做一做:若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)=()解析:由题意得f(x)=logax(a>0,且a≠1).∵f(2)=1,∴loga2=1.∴a=2.∴f(x)=log2x.答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√

5、”,错误的画“×”.(1)函数y=log2x+1是对数函数.(×)(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.(√)(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=ax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.(√)(4)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0).(√)合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三【例1】判断下列函数是不是关于x的对数函数?并说明理由.①y=logax2(a>0,且a≠1);②y=log2x-1;③y=2log8x;④y=logxa(a为

6、常数,x>0,且x≠1);⑤y=log5x.解:因为①中真数是x2,而不是x,所以不是对数函数;因为②中y=log2x-1常数项为-1,而非0,故不是对数函数;因为③中log8x前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;因为④中底数是自变量x,所以不是对数函数.⑤为对数函数.判断一个函数是不是对数函数的方法(1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)这一结构形式.(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征①系数为1;②底数为大于0,且不等于1的常数;③对数的真数仅有自变量x.只要有一个特征不具备

7、,则不是对数函数.【变式训练1】下列函数是对数函数的是()解析:因为A中真数是2x,而不是x,所以不是对数函数;因为B中真数是x2+1,不是x,故不是对数函数;因为D中lgx前的系数是2,而不是1,所以不是对数函数;C为对数函数.答案:C【例2】求下列函数的定义域.(1)y=loga(3-x)+loga(3+x)(a>0,且a≠1);(2)y=lg(x-1)+log(x+1)(16-4x).1.若把本例(1)中的函数改为y=loga(x-3)+loga(x+3)(a>0,且a≠1),求函数的定义域.∴函数y=loga(x-3)+loga(x+3)

8、(a>0,且a≠1)的定义域为{x

9、x>3}.2.求函数y=loga[(x+3)(x-3)](a>0,且a≠1)的定义域,相比延伸探究1