名师推荐极限的求法2.docx

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1、极限的求法方法一：直接代值法。例一：求lim(2x-1)xj令x=1代入原式中。-0解:lim(2x-1)=lim2x-limlx_1x_1x_1=2limx-1=21-仁1—1-0-0例二：求x3-1lim2x—2x-5x3-0-0x3-1X—；X。的极限时,例一：求匹x-3x2-9解：lim22x-5x+3lim(x2-5x+3)从上面两个例子可以看出，求有理整函数（多项式）或有理分式函数当只要把X。代替函数中的x就可以了；但是对于有理分式函数，这样代入后如果分母等于零,则没有意义。直接代值法不可用时，可以考虑因式分解法，分子（分母）有理化法等。方法二

2、：因式分解法。-0当x>3时，分子及分母极限均为0,分子，分母不能分别取极限，因为当分子分母取x=3时分子分母值为0。此时可使用因式分解法，可消去这个不为0的公因子。=lim二-解：lim2_=lim—x-9xt(x-3)(x+3)方法三：利用无穷大与无穷小的关系。2x-3例一：求lim[xtx—5x+4-0-0lim(x2-5x4)=1-514=0X1因为分母极限不可用直接代值法，也不可用因式分解法所以此题要根据无穷大与无穷小的关系解此题。2x—3解:lim=lim2x-5x42x1x-5x4x12x_3-02x-3由此可知limr=::x1x-5x41定

3、理：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，如果f(x)f(x)为无穷小，且f(x)#0，则1—为无穷大。f(x)c322x-x5例二求lim2x=3x2_2x_13x2一“三-limx5x忙：lim32x「2x3-x22一丄x3「0-x25=::所以lim笔x护3x—2x—1例三：求

4、

5、m■3x34x22=limxx3总结：由以上三个例题可以得出这样的结论：即7x35x2-3m丄m-1aoxaxam=0,当n>m;m丄m』丄・・aoxaixaml>mboxn+bixn4+…+bn=当n

6、o盼a1x玄=鱼，当n=m;方法四：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。sinx例一：求limxsinx解：lim=0x护x因为sinx在-1与1之间震荡，-1与1为其上界和下界，所以sinx为有界函数，而x是无穷1的，所以丄则为无穷小，根据定理即可计算为0；x2解：sinx为有界函数，在-1与1之间振荡，x>0,x为无穷小。limx2sinx=0。x0方法五：有理化分子(分母)例lim出上1X)0x=l£x1-1)(x1化讪xjim1X—0X(X11)x「0x(,X11)X—P.x11x("X11)例二：求lim垃匕4XIx—15x-4-xx-1lim(叮5x

7、_4_Jx)G5x+4十Jx)XH(x-1)(i5x-4ix)limX—1—=lim(x_1)(、5x-4.x)x14(x-1)(x-1)(、5x—4、x)x"(、5x一4.x)=2方法六：讨论法。aiaix_1,x：：0例一：求f(x)=0,x=0x1,x0极限不存在；x=0时,的极限。x<0时,limf(x)二lim(x-1)=-1X—0…X—0…limf(x)=lim(x1)=1;x「0•0'由此知，X取值不同，其极限不同，采用讨论的方法，分类讨论，求其极限。x>0时,方法七：极限准则1：xtsinx;xttanx;xtarcsinx;xtarctan

8、x;£1+xTt-x;secxn-1-2X;e2-1-X.aiai.3sinx2tanxsin2'2.3sinx例一：求limtanx；sinxxtsin3xtanx(1-cosx)lim3limX―r0XJ0aiaisinx—tanxf(訥十x2_1)(J1+sin2x-1)tanx(1—cosx)二limx)0x2sinxx2sXai方法八：极限准则二:x_)：:丄)x-xlim(jX匚x2xlim(1—」)x=lim丿(1+x'方法九：洛必达法则：定理一：(1)当x—；a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的某去心邻域内，f”x)及F'(x

9、)存在且F'(x)=O;(3)limf(x)存在(或为无穷大)，那么lim=limf(x)TF'(x)TF(x)tf'(x)定理二：(1)当X、■-:时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)

10、x

11、>N时，f(x)与F'(X)都存在，且F'(X)丰0;(3)limf(x)存在(或为无穷大)，那么xrF'(x)lif(x)m—-:F(x)lim-x)：:f'(x)F'(x)二00■"■"洛必达法则应用类型：一，一,0g严一°°,00,1二°°0;0比0型:0二0二0lim3“了2x1X3-x-x1X13x-2x-1=lim旦x16x_23;2;0•::型lim

12、xnlnx(n0)x)0■..「InxlimxInx