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1、第三章不等式、不等关系与不等式1不等式的基本性质①（对称性）abba②（传递性）ab,bcac③（可加性）abacbc（同向可加也ab,cdacbd异向可减性）ab,cdacbd④（可积性）ab,c0acbcab,c0acbc⑤（同向正数可乘性）ab0,cd0acbd（异向正数可除性）ab0,0cdabcd⑥（平方法则）ab0nabn(nN,且n1)⑦（开方法则）ab0肓^b(nN,且n1)⑧（倒数法则）ab011-；ab0-1abab2、几个重要不等式a2b2①a2b22aba，bR,（当且仅当ab时取""号）.变形公式
2、：ab丁②（基本不等式）变形公式ab2..ab2abab（也可用柯西不等式2a,bR,（当且仅当ab时取到等号）用基本不等式求最值时(a2b2)(c2d2)(acbd)2)（积定和最小，禾口定积最大），要注意满足三个条件"一正、二定、三相等”-—b―CVabc(a、b、cR)(当且仅当3③（三个正数的算术一几何平均不等式）abc时取到等号）.222④abcabbccaa,bR（当且仅当abc时取到等号）•⑤a3b3c33abc（a0,b0,c0）（当且仅当abc时取到等号）.ba⑥若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）（当
3、仅当a=b时取等号）若ab0,则ba2abbbman⑦1aambn其中(ab0，m0，n0)规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.⑧当a0时，xaa;xa.⑨绝对值三角不等式3、几个着名不等式①平均不等式：*彳a1b1、aba,bR,（当且仅当b时取""号）.（即调和平均变形公式：几何平均算术平均平方平均）.aba2b22b2(ab)22②幕平均不等式:22a1a22an-（ain③二维形式的三角不等式：a2...an).2yi22y2,(为X2)2(yiy2)2（为畀兀，y2R）.④二维形式的柯西不等式：(a2b2)
4、(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR).当且仅当adbc时，等号成立•⑤三维形式的柯西不等式：2222222(qa2a3)(bib2b3)(印^azd玄3匕3).⑥一般形式的柯西不等式：2222222佝a2...an)(bib2...bn)(abazd...anbn).⑦向量形式的柯西不等式:UIT设，是两个向量,ururLTLTuurur,当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立•⑧排序不等式（排序原理）:设aia2..an,b1b2...bn为两组实数.Ci,C2,...,Cn是bi,b2,...,bn
5、的任一排列，则aibna2bn1...anb1aiC1a?。?ancnaibia?b2...anbn.(反序和乱序和顺序和）当且仅当aia2...an或bb2...bn时，反序和等于顺序和•⑨琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数f（X）,对于定义域中任意两点x，x2（xx2）,有f(XX22f(Xi)f(X2)或2一f(f(Xi)f(X2)2则称f（X）为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调
6、性法,常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如（a丄）2?（a丄）2;242②将分子或分母放大（缩小），如数学归纳法等.1111k2k(k1)，k2k(k1)，(22)122.k.k；k、k.k^k11.k(kN*,k1)等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bXc0（或0）2（a0,b4ac0）解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集•规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边6、高次不等式的解
7、法:穿根法•分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向,写出不等式的解集•7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则(“或”时同理)0f(x)g(x)0g(x)f(x)0f(x)g(x)0g(x)g(x)0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴.丽a(a0)丫)0f(x)a⑵；丽a(a0)f(x)0f(x)a2f(x)⑶而g(x)g(x)f(x)00或[g(x)]2f(x)g(x)f(x)0⑷莎g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2f(x
8、)0⑸f(x)、.、g(x)g(x)0f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法:⑴当a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x)⑵当0a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x)规律：根据指数函数的性质转化•10、对数不等式的解法f(x)
