专题2平面向量与函数结合.docx

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1、精品资源专题2平面向量与函数结合考点动向：自从新教材实施以来，在高考题中，不时考查平面向量与函数有关知识的结合。高考中对函数的考查是全方位多层次的，既考查基础，突出教学的基本要求.平面向量与函数结合的问题，同时蕴涵着等价转化，分类讨论，数形结合，函数与方程等数学思想方法。因此函数理所当然是高考的考查重点，题型多样，综合性和灵活性的特征明显，特别是近几年向量与函数相结合的综合问题多出现在高考大题中。向量与函数知识结合，主要在求函数的值域(或最值)及活用奇偶性、单调性、周期性及对称性成为高考的热点问题，

2、重点考查二次函数、指数函数、对数函数、分段函数及抽象函数的有关性质，并且利用函数性质灵活解题。可以预测到，今后的高考中，还会继续出现这方面的。方法范例例1、(2005年，湖北卷)已知向量a=(x2,x+1),b=(1—x,t),若函数f(x)=ab在区间(—1,1)上是增函数，求t的取值范围.［解析］首先利用平面向量数量积的计算方法求出f(x),再利用导数f'(x)研究函数的单调性，然后运用二次函数的性质进行分析和解决问题^232［答案］解：由定义f(x)=x(1—x)+t(x+1)=—x+x+tx

3、+t,则f(x)=-3x22xt.若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f'(x)至。,f(x)之0ut之3x2—2x,在区间(―1,1)上恒成立，考虑函数g(x)=3x2—2x,1由于g(x)的图象是对称轴为x=-，开口向上的抛物线，32故要使t±3x-2x在区间(一1,1)上恒成立ut>g(-1),gpt>5.而当t之5时，f'(x)在(-1,1)上满足f'(x)>0,即f(x)在(-1,1)上是增函数.，故t的取值范围是t之5.一.,.、一，一，一.xx二例2、(2005年

4、，江西卷)已知向量a=(2cos-,tan(-+-)),224xx~x-：八**一..b=(。2sin(一十一),tan(1—一))，令f(x)=ab.是否存在头数x=［0,叫，使2424f(x)+f(x)=0?(其中f'(x)是f(x)的导函数).若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.［解析］首先利用平面向量数量积的计算方法求出f(x),再求出导数f'(x),然后研究欢下载精品资源f(x)+f(x)=0中的未知数的存在性.最后，记得检验是否符合已知条件.解本题的关键正确求出f(x).xx二x二

5、x二［答案］解：f(x)=ab=242cos-sin(—+—)+tan(—十—)tan()'2242424x/.2.x二2、、2cos(——sin222x、cos)21tanx2」,x1-tan2tanx-12」,x1tan2xx2x=2sincos+2cos—1=sinx+cosx=42sin(x+—)2224f'(x)=cosx-sinx,令f(x)+f(x)=0,即：f(x)+f'(x)=sinx+cosx+cosx—sinx=2cosx=0,可彳导x=',所以存在实数x=土丘［0,7使f(x

6、)+f'(x)=0.22此时，f(x)的最大值为夜，最小正周期为2n,f(x)在［0,±］上单调增加，［0,£］上44单调减少.这似乎是说存在实数xC［0,兀］,使得f(x)+f'(x)=0成立。然而，当x=3时，题目2中给出的式子tan(个+工)无意义，从而符合条件的实数x不存在。24例3(2006年，湖北卷)设函数f(x)=a［b+c),其中向量a=(sinx,-cosx)b=(sinx,-3cosx),c=(-cosx,sinx^x£R.(I)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(n)将函数y

7、=f(x的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d.［解析］首先利用平面向量数量积的计算方法求出f(x),再利用三角公式、三角函数的基本知识，以及三角函数的图像和性质的等基本知识进行解题，本题在于考查推理和运算能力。［答案］解：(I)由题意得，f(x)=a(b+c)=(sinx,—cosx)(sinx—cosx,sinx—3cosx)=sin2x—2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+V2sin(2x+).所以，f(x)的最大值为2+<2

8、,最小正周期是Y=H.,,一一3二3二一一k二3二(n)由sin(2x+——)=0得2x+——=k.n,即x=—————,k€Z,4428欢下载精品资源于是d=44,kCZ.TT因为k为整数，要使d最小，则只有k=1,此时d=(--,—2)即为所求.［规律小结］(1)平面向量与函数结合的问题，经常以向量为载体考查函数的知识，解题的关键是利用向量的知识将问题转化为函数的问题：求函数的值域(或最值)及活用奇偶性、单调性、周期性及对称性，转化时不要把向量实数搞混淆，一般来说