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1、精品文档§4.3矩阵的满秩分解本节讨论一个mxn复矩阵A可以分解为两个与A的秩相同的矩阵之积的问题。定义4.3.1设mxn复矩阵A的秩为r,如果存在两个与A的秩相同的复矩阵F与G,使得A=FG,则称此式为复矩阵A的满秩分解。当A是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A可以分解为单位矩阵与A自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。定理4.3.1设mMn复矩阵A的秩为r>0,则A有满秩分解。、〜…、口……，…/G）证：因为rankA=r>0,对A施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵B=,其中G为r父n矩阵，并且rankG=ra0;因此存在着有限个m阶初等矩阵之积，记作P,有PA=B,或者A=P
2、/B,将矩阵P,分块为P」=（F：S）,其中F为mwr矩阵，S为mm(n-r)矩阵，并且rankF=r,rankS=n-r。G则有a=p,b=(fS0J=FG,其中F是列满秩矩阵，S是行满秩矩阵。但是，矩阵A的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r阶非奇异矩阵D,则有_1.~>A=FG=(FD)(DG)=FG。「-10例1、求矩阵A=12/212-11的满秩分解。-2-b解：对矩阵A进行初等行变换1-10(A”户12<221210-1101-2-1000'「—101210T01)1001-10、0=B=1」,f-1一»-1012、其中G=所以B=0<0203,<001220
3、3000」「100P=110<1-1L’10P，=-11「210)「10'0=(F-S),其中F=—11D-2力由此可见，所以有F、1：c；GA=PB=(F=FG=-1S「20、「1—1011<0201J2、3,111欢迎下载精品文档定义4.3.2设mMn复矩阵H的秩为r（r>0）,并且满足以下条件：1）矩阵H的前r行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1,而后m—r行的元素均为零；2）如果矩阵H的第i行的第一个不为零的元素1在第ji列（i=1,2，…，r）,则ji：二j2：二…；jr；3）矩阵H的jhj2,…，jr列是单位矩阵Im的前r列；则称矩阵H
4、为Hermite标准形（最简型）。由此定义可见，对于任意一个秩为r的mwn复矩阵A,均可以经过初等行变换将其化为Hermite标准形H,而且矩阵H的前r列元素组成的列向量组线性无关。定义4.3.3以n阶单位矩阵In的n个列向量e,%,…，en为列构成的n阶矩阵P二（ej1,ej2,…，ejn）叫做置换矩阵。其中j1，j2,…，jn是1,2,…，n的一个全排列。定理4.3.2设mxn复矩阵A的秩为r（rA0）,矩阵A的Hermite标准形为H,则在矩阵A的满秩分解A=FG中，可以取矩阵F为A的j1,j2,…，jr列构成的mxr列矩阵，G为H的前r行构成的rMn列矩阵。「-101
5、2'例2、求矩阵A=12-11的满秩分解。/2-2-1,「-10A=12<22-11t01-2—1,©0解：先求出矩阵A的Hermite标准形-12032=H,H的第1列与第2列构成I3的前两00」列，所以矩阵F为A的第1列与第2列构成的3M2矩阵，G为H的前2行构成的2黑4矩产-10、阵，即F=12,G<22」所以A=FG-1：1<20,102<012广-1203/2,111欢迎下载精品文档111欢迎下载精品文档对比例1,可以看出矩阵A的满秩分解不唯一。111欢迎下载精品文档欢迎您的下载,资料仅供套考!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需
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