“等时圆”模型的基本规律及应用.docx

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1、“等时圆”模型的基本规律及应用（此文章己发表于《考试》杂志）前段时间在网上发了一个帖子“等时圆规律有哪些应用”，居然有同志认为是“等势圆”吧。而在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：一、何谓“等时圆”a>b^c^d位于同一圆周如图1所示，ad.bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆,上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从&、b、C处释放（初速为0），用t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时

2、间，则（）A.tlt2>t3C.t3>tl>t2D.tl二t2二t3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R,由牛顿第二定律得，mgcos:-ma.再由几何关系，细杆长度L=2Rcosr②12设下滑时间为t,则L二一at'③2由以上三式得，t=2可见下滑时间与细杆倾角无关，所以VgD正确。由此题我们可以得出一个结论。结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上

3、各点所用的时间相等。彖这样的竖直圆我们简称为“等时圆”o关于它在解题屮的应用，我们看下面的例子:二、“等时圆”的应用1、可直接观察出的“等时圆”例1:如图3,通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A正确。M点，与竖直墙相A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以例2：如图4,位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面相切于60°,C是圆环轨道的圆心,切于点A,竖直墙上另

4、一点B与M的连线和水平面的夹角为D是圆环上与M靠得很近的一点（DM远小于CM）o已知在同一时刻：a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点；d球从D点静止岀发沿圆环运动到M点。"9:（）A、a球最先到达M点B、b球最先到达M点解析：设圆轨道半径为R,据“等时圆”理论,怙二狼二2,ggtb>ta;C做自由落体运动tc二2R:而d球滚下是一个单摆模型,1g摆长为R,二二42讥TT1ER,所以C正确。2、运用等效、类比自建“等时圆”例3:如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h,B点离

5、地高度为H,现在要在地面上寻找一点P,使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求足题设要求。_A如图6所示，此时等时圆的半径为:R=OT'P二Hh2所以0P=JR2_(h)2=JH(H+h)勺距离hH图5hB訐输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角例4:如图7,AB是一倾角为0的输送带，P处为原料输入口，为避免粉谜影W督应为多大?解析：借助

6、“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，0为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于0/2o三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为P,小滑环分别从a.b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为2Rcos0,bd面上物体下滑的加速度为a二geos0-

7、卩gsin0,J尔迹日'二2I」一。可见七与o有关。gcosT-kgsinRYg-也tanR2、如图9,圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板&0、b0、c0,其下端都固定于底部圆心0,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为三个小孩30°、45°、60°。若有同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）A、a处小孩最先到0点B、b处小孩最先到0点C、c处小孩最先到0点D、a、c处小孩同时到0点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a.b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径R14R为R,则

8、二一gsin0t[t‘二,当0二45。时，t最小，当cosR2gsin2R0二30。和60°时,sin20的值相等。