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1、一线三等角模型13/12“三垂直”,等，以下称为“一线三等角”。一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型,上构成的相似图形，这个角可以是直角,不同的称呼，“K形图”，二•一线三等角的分类全等篇指的是有三个等角的顶点在同一条直线也可以是锐角或钝角。不同地区对此有“弦图”13/1213/12同侧异侧相似篇锐角1=/2=73,易得△AE3ABDE..如图3-1，若CE=ED则厶AE3ABDE.三、“一线三等角”1.一般情况下，如图2•当等角所对的边相等时，则两个三角形全等的性质3-1，由/13/1213/12
2、13/12图3-1图3-23.中点型“一线三等角”如图3-2，当/仁/2=73,且D是BC中点时，△BD0ACFSADFE.4•“中点型一线三等角“的变式（了解）1如图3-3，当/1=72且BOC=9。2BAC时，点0点ABC的内心•可以考虑构^3-3如图3-4“中点型一线三等角图3-4*通常与三角形的内心或旁心相关,13/121—BOC=90■2—BAC这是内心的性质，反之未必是内心.在图3-4（右图）中，如果延长BE与CF，交于点P，则点D是厶PEF的旁心.5.“一线三等角”的各种变式（图3-5，以等腰三角形为
3、例进行说明）图3-5其实这个第4图，延长DC反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来j行解题四、“B存形中已经存在“角”，不一线三等角”的应用应用的三种f情况:，直接应用模型解题；盍.“—.等宀”形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，
4、在x轴或y轴（也可以是平行于x轴或y轴的直线）上构造线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似13/12®3-6卫応HIJAEMftipcn在DC的延按嫌上載取CE=—>在CD的延长銭上誌取DF=—jtatmtana则unZAEP=tacZPFB=tans则乙4E?二ZPFB=a=ZAPS,所I£JIAPaE«ABPF*13/1213/12在CP上截取CE=—>IDP毎取DF=—,ranacuke則mZAEC=tmZBFD=tma>WJZAEC=ZBFD=a=ZAPB,所以△PAE
5、sABPF*如图3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过C、D两点作直线I的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握•解题示范例1如图所示，一次函数y--X•4与坐标轴分别交于A、B两点，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B两端点），C是线段0B上一点，/OPC=45°若△OPC是等腰三角形，求点P的坐标.13/12例2如图所示，四边形ABCD中，
6、/C=90°/ABD=/DBC=22.5°AE丄BC于E，/ADE=67.5°AB=6,贝UCE=.CB13/12例3如图，四边形ABCD中，/ABC=/BAD=90°,ZACD=45°,AB=3,AD=5.求BC的长.13/1213/1213/1213/12例4如图，△ABC中，/BAC=45°,AD丄BC,BD=2,CD=3,求AD的长.一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形,比例不能少.巧设未知数，妙解方程好还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造例5如图，在△ABC中
7、，/BAC=135,AC=■■■2AB,AD丄AC交BC于点D,若AD=2,13/1213/12求/△ABC的面积13/12r""MANF13/12当然有45°或135。等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种大练身手：1-如图，tan厶仞=丄PZB=90°fAD=2,BC=4.i313/1213/12Z如图，/ABC中，,ZCAD=45QtAB=3,CD=5,求加的长.13/1213/123,如图，在四边形ABCD中，ZBAD=XACB
8、=ZACD=45,AC=4,求△ECO的周长.13/12斗.在直角三角形ZO90*2430*昭8LD为虫?的中点"若ZWEF为正三角形*求CF的长.£如图，在Rt^^ABC中.^ACB=3Oa,皿平分^CAB,若ZCD^60e，必=4JJ求/Q的长,氐如图，在等腰直角三^ABC中，Z£14090°,D为AB1.点，连接CD,P为CD_L'点,^BPD=45"
