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时间:2021-05-16
《2022版新教材高考数学一轮复习18利用导数证明不等式_构造法证明不等式训练含解析新人教B版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、考试十八 利用导数证明不等式——构造法证明不等式(建议用时:45分钟)A组 全考点巩固练1.对∀x∈[0,+∞),ex与1+x的大小关系为( )A.ex≥1+xB.ex<1+xC.ex=1+xD.不确定A 解析:令f(x)=ex-(1+x).因为f′(x)=ex-1,所以对∀x∈[0,+∞),f′(x)≥0,故f(x)在[0,+∞)上单调递增,故f(x)≥f(0)=0,即ex≥1+x.故选A.2.若0lnx2-lnx1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex12、C 解析:令f(x)=,则f′(x)==.当0x1ex2.故选C.3.若e是自然对数的底数,则( )A.>>B.>>C.>>D.>>A解析:令f(x)=,则f′(x)=.当00,f(x)单调递增;7/7考试当x>e时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)=≤f(e)=,排除CD.由f(π)>f(4)得>=.故选A.4.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个3、极值点,则lna与b-1的大小关系是( )A.lna>b-1B.lna0),则g′(a)=-3=.令g′(a)>0,解得0.故g(a)在上单调递增,在上单调递减.故g(a)max=g=1-ln3<0,故lna2.证明:设f(x)=ex-lnx(x>0),则f′(x)=ex-.7/74、考试令h(x)=f′(x),则h′(x)=ex+>0,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又f′=-2<0,f′(1)=e-1>0,所以在上存在x0使f′(x0)=0,即x0=-lnx0.所以在(0,x0)上,f(x)单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=x0处有极小值,也是最小值.所以f(x0)=ex0-lnx0=+x0>2,故f(x)>2,即ex-lnx>2.6.证明:当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.证明:令f(x)=sinx-x,则f′(x)=cosx-.当x∈时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当x∈时,f′(x)5、<0,f(x)在上单调递减.又f(0)=0,f(1)>0,所以当x∈[0,1]时,f(x)≥0,即sinx≥x.记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0,所以H(x)在[0,1]上单调递减,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.综上,当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.7/7考试B组 新高考培优练7.已知函数f(x)=ax2-xlnx.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,某某数a的取值X围;(2)若a=e,证明:当x>0时,f(x)6、(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f′(x)≥0,即2a≥恒成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)=-,易知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g(x)max=g(1)=1,所以2a≥1,即a≥.故实数a的取值X围是.(2)证明:若a=e,要证f(x)0),则h′(x)=.易知h(x)在上单调递减,在上单调递增,则h(x)min=h=0,所以lnx+≥0.令φ(x)=ex-ex,则φ′(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,17、)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,7/7考试所以ex-ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0,所以ex-ex8、g(x)=x-lnx,h(x)=+,由g′(x)=1-=0,得x=
2、C 解析:令f(x)=,则f′(x)==.当0x1ex2.故选C.3.若e是自然对数的底数,则( )A.>>B.>>C.>>D.>>A解析:令f(x)=,则f′(x)=.当00,f(x)单调递增;7/7考试当x>e时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)=≤f(e)=,排除CD.由f(π)>f(4)得>=.故选A.4.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个
3、极值点,则lna与b-1的大小关系是( )A.lna>b-1B.lna0),则g′(a)=-3=.令g′(a)>0,解得0.故g(a)在上单调递增,在上单调递减.故g(a)max=g=1-ln3<0,故lna2.证明:设f(x)=ex-lnx(x>0),则f′(x)=ex-.7/7
4、考试令h(x)=f′(x),则h′(x)=ex+>0,所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又f′=-2<0,f′(1)=e-1>0,所以在上存在x0使f′(x0)=0,即x0=-lnx0.所以在(0,x0)上,f(x)单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=x0处有极小值,也是最小值.所以f(x0)=ex0-lnx0=+x0>2,故f(x)>2,即ex-lnx>2.6.证明:当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.证明:令f(x)=sinx-x,则f′(x)=cosx-.当x∈时,f′(x)>0,f(x)在上单调递增;当x∈时,f′(x)
5、<0,f(x)在上单调递减.又f(0)=0,f(1)>0,所以当x∈[0,1]时,f(x)≥0,即sinx≥x.记H(x)=sinx-x,则当x∈(0,1)时,H′(x)=cosx-1<0,所以H(x)在[0,1]上单调递减,则H(x)≤H(0)=0,即sinx≤x.综上,当x∈[0,1]时,x≤sinx≤x.7/7考试B组 新高考培优练7.已知函数f(x)=ax2-xlnx.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,某某数a的取值X围;(2)若a=e,证明:当x>0时,f(x)6、(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f′(x)≥0,即2a≥恒成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)=-,易知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g(x)max=g(1)=1,所以2a≥1,即a≥.故实数a的取值X围是.(2)证明:若a=e,要证f(x)0),则h′(x)=.易知h(x)在上单调递减,在上单调递增,则h(x)min=h=0,所以lnx+≥0.令φ(x)=ex-ex,则φ′(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,17、)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,7/7考试所以ex-ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0,所以ex-ex8、g(x)=x-lnx,h(x)=+,由g′(x)=1-=0,得x=
6、(x)在(0,+∞)上单调递增,所以当x>0时,f′(x)≥0,即2a≥恒成立.令g(x)=(x>0),则g′(x)=-,易知g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则g(x)max=g(1)=1,所以2a≥1,即a≥.故实数a的取值X围是.(2)证明:若a=e,要证f(x)0),则h′(x)=.易知h(x)在上单调递减,在上单调递增,则h(x)min=h=0,所以lnx+≥0.令φ(x)=ex-ex,则φ′(x)=e-ex,易知φ(x)在(0,1
7、)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则φ(x)max=φ(1)=0,7/7考试所以ex-ex≤0.因为h(x)与φ(x)不同时为0,所以ex-ex8、g(x)=x-lnx,h(x)=+,由g′(x)=1-=0,得x=
8、g(x)=x-lnx,h(x)=+,由g′(x)=1-=0,得x=
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