与椭圆有关的最值问题.docx

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1、与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1•定义法2例i。P(-2,..3),F2为椭圆—252yi6i的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF的最大

2、值和最小值。分析：欲求MP+MF的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义MF=2a-MF,Fi为椭圆的左焦点。解：MP+MF=MP+2a-MF连接PFi延长PFi交椭圆于点Mi,延长FiP交椭圆于点M2由三角形三边关系知-PFMP-MF2a=i0,PFi=2所以(MiM2PFi当且仅当M与Mi重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为MP+MF)ma>=i2,(MPI+MF)min=82x结论i：设椭圆-2a2与i的左右焦点分别为Fi、F2,P(xo,yo)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意b2一点，

3、则丨MP+MF丨的最大值为2a+PFi，最小值为2a-PFi丨。例2：22P(-2,6),F2为椭圆xyi的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP+MF的最大值和25i6最小值。分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使MP+MF值最小，求最大值方法同例i。解：MP+MH=MP+2a-MF连接PFi并延长交椭圆于点Mi,则M在Mi处时MP-MF取最大值PFi。二MP+MF最大值是i0+,37，最小值是,4i。22结论2:设椭圆笃每i的左右焦点分别为Fi、F2,P(xo,yo)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，a2b2

4、则MP+MF的最大值为2a+PFi，最小值为PF2。2.二次函数法22例3•求定点A(a,0)到椭圆务£i上的点之间的最短距离。ab分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为x,y的函数，求最小值。1i解：设P(x,y)为椭圆上任意一点，PA2=(x-a)2+y2=(x-a)2+i-x2=(x2a)2+i-a2由椭圆方22程知x的取值范围是卜、.2,、_2](1)若Iaw—,则x=2a时IPAImin=』1a22(2)J2若a>,则X=「J2时IPAImin=I2a-2I(3)若a<-22-H-,则PAmin

5、=日+2I结论223：椭圆1上的点M(x,y)到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式a2b2I，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。2.三角函数法2x例4:椭圆冷4分析：若按例3那样d=x2y4转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆1上的点M(x,y)到直线I:x+2y=4的距离记为d,求d的最值。的参数方程，即三角换元。解：d=x2y4x5x2x•••令y2cossind=2cos2sin42=5、2sin(7)当sin(-)=1时,dm/

6、52104当sin(斗4752怖时,dmax=—22结论4:若椭圆务与1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程,ab统一变量转化为三角函数求最值。2.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0将x=-2y-c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由△=0解得c=±2^2,c=-22时直线m：x+2y-2.2=0与椭圆切于点P则P至憤线I的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离，所以_4.52

7、.10dmin=—5c=2••一2时直线m：x+2y+2.2=0与椭圆切于点Q,则Q到直线I的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与I的距离，所以dmax=4—一210。5结论5:椭圆上的点到定直线I距离的最值问题，可转化为与I平行的直线m与椭圆相切的问题，利用判别式求岀直线m方程，再利用平行线间的距离公式求岀最值。说明：有些题目可以用几种不同的方法去解决，我们必须清楚它们的最优解法，以便提高做题速度及准确率。