2021_2022学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理学案新人教A版选择性必修第一册.doc

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1、优选1.2　空间向量基本定理学习任务核心素养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点、难点)1.通过基底概念的学习，培养数学抽象素养.2.通过用空间向量基本定理，解决简单的立体几何问题，发展直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.平面向量基本定理表明，在给定的平面内，当向量a与b不共线时，任意一个向量c都可以写成a与b的线性运算，而且表达式唯一．空间向量有没有类似的结论？如果有，尝试归纳出来，如果没有说明理由．知识点1　空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一

2、个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．对于基底{a，b，c}，三个基向量a，b，c中能否有一个为0?[提示]　因为向量0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，因此三个基向量均不为0.(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底．(2)一个基底是指一个向量组，而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量的基底是唯一的．(　　)-10-/1

3、0优选(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(　　)(3)已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面．(　　)(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则有x＝y＝z＝0.(　　)[提示]　(1)×　任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．(2)√　若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．(3)√，，，不能构成空间的一个基底，则三向量共面，且有公共起点B，因此A，B，M，N四点共面．(4)√a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.知识点2　空间

4、向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使得a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间的单位正交基底是唯一的．(　　)(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．(　　)(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.(　　)[提示]　(1)×　不唯一．

5、(2)√　由单位正交基底的定义可知正确．(3)√　由向量正交分解知正确．-10-/10优选类型1　空间的基底【例1】　{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．[解]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立，∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3，∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面．∴此方程组无解．即不存在实数

6、x，y使得＝x＋y，所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一个基底．基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．③依托正方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面．[跟进训练]-10-/10优选1．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a

7、＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　)A．B．C．D．或C[由＝(a－b)知与a，b共面．所以a，b，不能构成空间的基底，故选C．]2．若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为空间的一个基底？[解]　假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即a＋b＝μa＋λb＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}是空间的一个基底，∴a，b，c不共面．∴此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a＋b＝