2022版新教材高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2节第4课时利用导数研究不等式恒成立能成立问题学案含解析新人教B版.doc

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1、优选第3章导数及其应用第4课时　利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题考点1分离参数(构造函数)解决恒成立问题,——综合性(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值X围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1.由于f″(x)＝ex＋2＞0恒成立，故f′(x)在R上单调递增，且f′(0)＝0.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(0，

2、＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．(2)由f(x)≥x3＋1，得ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0.①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意．②当x＞0时，得a≥－.记g(x)＝－，g′(x)＝－.令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)，15/15优选则h′(x)＝ex－x－1，h″(x)＝ex－1≥0，故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0.由h(x)≥0得ex－x2－x－1≥0恒成立，故当x∈(0,2)时，g′(

3、x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减．因此，g(x)max＝g(2)＝.综上可得，实数a的取值X围为.1．分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题，是指在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．2．求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x

4、))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题已知函数f(x)＝lnx－ax2＋1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a＝0，xf(x)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，求整数k的最大值．解：(1)f′(x)＝－2ax＝(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．15/15优选当a>0时，由f′(x)>0，得0，

5、则f(x)在上单调递减．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．(2)由题意，x(lnx＋1)>k(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，即k<(x>1)．设g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝.令h(x)＝x－lnx－2(x>1)，则h′(x)＝1－>0，所以，h(x)在(1，＋∞)上为增函数．因为h(2)＝－ln2<0，h(3)＝1－ln3＝ln<0，h(4)＝2－ln4＝ln>0，所以h(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根m∈(3,4)，使

6、得m－lnm－2＝0.当x∈(1，m)时，h(x)<0；当x∈(m，＋∞)时，h(x)>0.即g(x)在(1，m)上单调递减，在(m，＋∞)上单调递增，所以g(x)在x＝m处取得极小值，且g(m)＝＝m，15/15优选所以k

7、x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna.由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞)．综上，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为R；当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna，＋∞)．(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，所以ax≤，即a≤.设h(x)＝，则问题转化为a≤h(x)ma

8、x.由h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝.当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，＋∞)h′(x)＋0－h(x)极大值由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，也是最大值，为h()＝.所以a≤15/15优选，即a的取值X围是.1．含参数的能成立(存在型)问题的解题方法(1)a≥f(x)在x∈D上能成立，则a≥f(x)min；(2)a≤f(x)在x∈D上能成立，则a≤f(x)max.2．含全称量词、存在量词不等式能成立问题(1)存在x