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1、平面向量基本定理［学习目标］1•理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义2在平面内，当组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3•会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.壬知退梳理自主学习知识点一平面向量基本定理(1)定理：如果ei,02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向_a,有且只有一对实数入，d使a=Xiei+>^02.(2)基底：把不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考如图所示，ei,e2是两个不共线的向量，试用e,e表示向量AB,C
2、D,EF,GH,HG,a.答案通过观察，可得:AB=2ei+3e2,CD=ei+4e2,EF=4ei—4e2,a=—2ei.GH=—2ei+5e2,HG=2ei—5e2,知识点二两向量的夹角与垂直(i)夹角：已知两个非零向量a和b,如图，作O)A=a,O)B=b,则/AOB=0(0°i80°,叫做向量a与b的夹角.ft①范围：向量a与b的夹角的范围是［0°i80°.②当0=0°寸，a与b同向.③当0=i80°时，a与b反向.⑵垂直：如果a与b的夹角是90°则称a与b垂直，记作a丄b.思考在等边三角形ABC中，
3、试写出下面向量的夹角.①AB、AC；②AB、Ca:③BA、CA；④AB、BA.答案①AB与AC的夹角为60°②AB与CA的夹角为120°③BA与CA的夹角为60°④AB与BA的夹角为180°题型探究重点突破题型一对向量的基底认识例1如果ei，e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是.①砂+姥（入让R）可以表示平面a内的所有向量；②对于平面a内任一向量a，使a=?ei+e的实数对（人心有无穷多个；③若向量入ei+eie2与&ei+ee2共线，则有且只有一个实数入使得入ei+ee2=Xbei+ee
4、2）；④若存在实数人卩使得?e1+虔2=0,则A尸0.答案②③解析由平面向量基本定理可知，①④是正确的.对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.对于③，当两向量的系数均为零，即入=瓜=pi=（J2=0时，这样的入有无数个.跟踪训练1设ei、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①ei与ei+e?;②ei-2e2与ez—2e仁③ei-2e2与4ez-2e仁④ei+e2与ei-e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是.（写出所有满足条件的序号
5、）答案①②④解析对于③4e2—2ei=—2ei+4e2=—2(ei—2e2),二ei—2e2与4e2—2ei共线，不能作为基底.题型二用基底表示向量例2如图所示，已知？ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB=a,AD=b,试以a、b为基底表示De、BF.解•••四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点,AD=BC=2BE,BA=Cd=2CF,寻1f1f1f1f1…BE=2AD=2b,CF=尹A=—2AB=-qa・—>—>—>—>—>—>—>二DE=DA+AB+BE=—AD+A
6、B+BE11=—b+a+qb=a—qb,BF=BC+CF=AD+CF=b—qa.跟踪训练2如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E,F为BC的三等分点，若AB=a,AC=b,用a、b表示AD、AEAF..ffff1f解AD=AB+BD=AB+qBC111=a+2（b—a）=?a+2b;ffff1fAE=AB+BE=AB+3BC121=a+3（b—a）=§a+3b;ffff2fAF=AB+BF=AB+3BC212=a+3（b—a）=§a+3b.题型三向量夹角问题例3已知
7、a
8、=
9、b
10、=2，且a与b的夹角为60°
11、设a+b与a的夹角为a,a—b与a的夹角是求a+3解如图，作O=a,O）B=b,且/AOB=60°以OA、OB为邻边作？OACB,则Oc=a+b,BA=OA—OB=a—b,BC=OA=a.因为
12、a
13、=
14、b
15、=2，所以△OAB为正三角形,所以/OAB=60°=/ABC,即a—b与a的夹角3=60°因为
16、a
17、=
18、b
19、,所以平行四边形OACB为菱形，所以OC丄AB,所以/COA=90°—60°=30°即a+b与a的夹角a=30°所以a+3=90°.跟踪训练3若a丰0,0,且
20、a
21、=
22、b
23、=
24、a—b
25、,求a与a+b的
26、夹角.AC解由向量运算的几何意义知a+b,a—b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线.如图，•/
27、a
28、=
29、b
30、=
31、a—b
32、,•••/BOA=60°又•••OC=a+b,且在菱形OACB中,对角线OC平分/BOA,•a与a+b的夹角是30°题型四平面向量基本定理的应用例4如图所示，在△OAB中，OA=a,OB=b,点M是AB上靠近B的一个三等分点，点AN是OA上靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交
