数值分析课堂例题.docx

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1、Chi.引论例1分析用Cramer法则解一个n阶线性方程组的计算量。解计算机的计算量主要取决于乘除法的次数。用Cramer法则解一个n阶线性方程组需计算n1个n阶行列式，而用定义计算n阶行列式需n!nT次乘法，故总计共需n•1n!n~l[=[n•1!nT。此外，还需n次除法。当n=20时，计算量约为n,1!n-1=9.710。次乘法。即使用每秒百亿次乘法的计算机，也需计算3000多年才能完成。可见，Cramer法则仅仅是理论上的，不是面向计算机的。2VLJ—*n例2根据“沁展式宀1*；!八才！Rn（X）计算e'（误差小于0.01）解JR5(x)

2、2!3!4!5!Ill1----(截断误差)0.3667(舍入误差)。2624120例3计算In=［丁dx(n=0,1,2…,6),并做误差分析x十5解T-「v+5x-5x亠1G亠nrr丄口-rlvB「10=ln——H+n1Q9Q=X+5n_X+55r-*r0:0.1823算法1」**1,结果见下表。In：-51d+—-nnnn▼XXX11111、V/■7FA—/T皿T,亠1=n09^1Q=6x+55'6(n+l)5(n+1)2>x75汉7丿le=0.02619算法2一*1—1：,结果见下表。jT1町5n算法1算法2准确值误差分析:算法1En0

3、0.18230.18230.182310.08850.08840.088420.05750.05800.058030.04580.04310.043140.02080.03440.034350.09580.02810.02856-0.31250.02620.02431*11n一】一JL—51二5E,即在计算过程中误差放大了5彳咅。算法2E。二I】00即误差缩小了5■倍。例4将方程p（x）改为摄动方程X—（210,1n-li1n一55*1=(x一1)(xJxp山小20!=0,即p(x)-xl*0,其中；•2)(x*20)二0,即X30-210x3

4、20八0=2^10oWilkinson用精密方法计算出其根为:1.0000,；6.0000,6.9997,8.0073,8.9173,10.0953一0.6435i,令p(x,)=x:o-(210；)x19'20!,其根为Xi(0,19.5024_1.9403i,20.8469。i=1,2,20,则当时，XiTj。显然譽反映了初始数据的微小摄动对；凶XiC）的影响程度即问题的条件数。因P（x「），；£P欣19Y・20Rz〃(x「J)k=l・19■1Xi10〃101010^1910〜10（坏条件问题）10-10-例5分别将线性方程组■z1078Z

5、32^17565X2231Y二86109X333159100T31的右端向量和系数矩阵中数据做一个微小变化，具体数据如下:10787>勺2.7565X222.986109X333.1〈75910〉®}.30.9(1078.17.085.0465X285.989.899X3©994.9999.98g2333xx),xx),然后用精确方法求解，发现其解与原方程解相比发生了很大的变化。这表明此方程组为病态方程组。115•已知三角形面积S二一absinc,其中c为弧度，0c,且测量a.,b,c的22误差分别为AaTh",证明面积的误差S满足卜证根据零阶

6、多元Taylor公式,•:S=1a：ab：bsinc:-^absinc111cbsincasinc:babcos3:c2225兰亠卫曲Sabsinc令fx二一沁x,则fxcoscoS:x因心xLIX,0*日

7、x一Xox一0.5解lo(x)10x6,li(x)10x-5,Xo一Xi0.5—0.6Xi-xo0.6—0.5Li(x)=yolo(x)y"x)=1.823210xT.604752。In(0.54)4(0.54)二一0.62021860。1°(x)=-2)(Xo—X

8、)(X0—X2)x-0.6x-0.7=50x=~65x21,0.5-0.60.5-0.7(X-Xo)(X-X?)(Xi-Xo)(Xi-x—0.5ix—0.7i二-100君120X-35,[x-0.50.6i=50x:-55xi5,l2(x)=徑£*丄(X2-Xo)(X2—Xx)L

9、2(x)=yolo(x)yJi(x)y2l2(x)Z2-i.408500x=3.372560^-2.027302,In(0.54):L2(0.54)=